РЕШЕНИЕ к-р по математике
.docx
Контрольная работа
Вариант A
Задание 1. Перемножить матрицы:
.
Решение. При умножении матрицы на матрицу действует правило: каждая строка первой матрицы умножается на каждый столбец второй матрицы. Для операции умножения матриц справедлив ассоциативный закон умножения: A(BC)=(AB)C. Поэтому данное задание выполним двумя способами.
Способ 1. Перемножим первые две матрицы:
.
Затем результат умножим на третью матрицу:
.
Способ 2. Перемножим последние две матрицы:
.
Затем результат умножим на первую матрицу:
.
Как и следовало ожидать, результат получился тот же самый. Таким образом, получаем
.
Задание2а. Вычислить определитель:
.
Решение. Способ 1.При помощи элементарных преобразований матрицы, учитывая свойства определителей, будем получать в какой-либо строке или столбце нули, а затем будем разлагать полученный определитель по этой строке или столбцу:
.
Способ 2.При помощи элементарных преобразований матрицы, учитывая свойства определителей, приведем матрицу к треугольному виду:
.
Задание2б. Вычислить определитель:
.
Решение. Упростим данный определитель, а затем вычислим его:
.
-1
-1
-1
Задание3а. Решить систему линейных уравнений методом Крамера.
Решение. Метод Крамера заключается в том, что вычисляется сначала определитель основной матрицы системы (например, методом треугольников):
.
Поскольку определитель 0, то система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам
где i – определитель матрицы, получаемой из основной, путем замены i-го столбца столбцом свободных членов:
,
,
.
Таким образом,
Сделаем проверку,
Следовательно, исходная система имеет решение: x=2, y=–3, z=5.
Задание3б. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.
Решение. Выпишем расширенную матрицу системы, а затем при помощи элементарных преобразований строк приведем ее к треугольному виду:
.
-3
5
5
2
Теперь выписываем соответствующую укороченную систему уравнений. Из последнего уравнения, находим значение z и подставляем его во второе уравнение; после этого из второго уравнения находим y; найденные значения x и y подставляем в первое уравнение, из которого затем находим значение x.
