3. Формулы полной вероятности и Байеса.

Задача 3. В магазин поступают однотипные изделия с трех заводов, причем i-й завод поставляет m_i % изделий (i = 1, 2, 3). Среди изделий i -го завода n_i % первосортных. Определить вероятность того, что купленное изделие выпущено j-м заводом, если оно оказалось первого сорта.

Решение (для нулевого варианта: m₁ =20, m₂ =30, m₃ =50, n₁ =70, n₂ =70, n₃=90, j=1). Введем обозначения. Событие А – куплено первосортное изделие. События, заключающиеся в том, что купленное изделие выпущено первым, вторым или третьим заводом - Н₁, Н₂, Н₃ (гипотезы, при выполнении которых может произойти событие А). - вероятность событияА, при условии, что произошло, т.е. что изделие оказалось i-ого завода.

В задаче требуется найти - вероятность того, что купленное изделие изготовленоj-тым заводом, если оно оказалось первого сорта.

Воспользуемся формулой Байеса. .

По условию задачи Р(Н₁) = _=,

Р(Н₂) = =0,3;Р(Н₃) = = 0,5.

= 0,7 (70%), = 0,7 (70%),= 0,9 (90%).

Подставляя эти значения в формулу Байеса, получим:

=≈0,175.

Ответ: ≈ 0,175

4. Приближенные вычисления в схеме Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Лапласа.

Задача 4. Вероятность получения кредита для одного потенциального заемщика равна р. В течение недели в банк обращаются за получением кредита n человек. Найти: а) наивероятнейшее число лиц, получивших одобрение на получение кредита; б) соответствующую вероятность.

Решение (для нулевого варианта: p=0,3; n=13). Наивероятнейшее число лиц, получивших одобрение на получение кредита k₀ определяется из двойного неравенства np–q ≤ k₀ < np+p, где (q=1–p).

Вероятность того, что из 13 обратившихся в банк, получивших кредит окажется ровно k₀ находится по локальной теореме Лапласа (т.к. n ≥ 10): ,где x=. Подставив значения n и p, заданные для своего варианта, получим:

а). np–q ≤ k₀ < np+p, => 3,9-0,7 ≤ k₀ < 3,9+0,3 => k₀ = 4.

б). ,где =, х==.

Значения функции для вычисленного значения х находятся по специальным справочным таблицам учебников, пособий и справочников по теории вероятности.

Для х=0,06 находим =0,3982. А искомая вероятность =0,24

Ответ: k₀ = 4, Р₁₃(4)=0,24.

Задача 5. Вероятность досрочного погашения ипотечного кредита для каждого из n заемщиков равна р. Определить вероятность того, что число m заемщиков, досрочно погасивших кредит, удовлетворяет следующему неравенству:

Варианты 0-11- k₁≤m≤ k₂; варианты 12-21- m≤ k₂; варианты 22-31- m≥k₁.

Решение (для нулевого варианта: n=400, p=0,8, k₁=300. k₂=350). Вероятность того, что число появлений события А в n независимых испытаниях попадет в некоторый интервал [k₁,k₂] определяется интегральной теоремой Лапласа: Р_n(k₁,k₂)= ½(Ф(X") – Ф(X')), где Ф(X)=- функция Лапласа, X'=,X"= . Значения функции Лапласа для вычисленных значений X' и X" находятся по специальным справочным таблицам теории вероятности. Следует учесть, что Ф(X)— нечетная функция, т.е. Ф(-X)= - Ф(X).

X'==; Ф(-2,5)= -0,9876;X"==; Ф(1,25)= 0,7888

Р_n(k₁,k₂)= ½(Ф(X") – Ф(X'))= ½(0,7888 – (-0,9876))= 0,8882