2. Психофизические шкалы. Функция желательности Харрингтона. Обобщенная функция желательности

Нередко при оценивании альтернатив возникает необходимость в использовании измерений с помощью специально разрабатываемых вербально-числовых шкал, применяемых преимущественно в случаях, когда оценки носят субъективный характер, в частности, при экспертном оценивании. Эти шкалы носят название психофизических и позволяют формализовать имеющуюся у эксперта систему предпочтений.

Психофизические шкалы задаются функциями специального вида — функциями желательности и устанавливают соответствие между натуральными значениями показателей в физических шкалах и психофизическими параметрами — субъективными оценками «ценности» этих значений. Обычно функцию желательности d(x) строят таким образом, чтобы в наиболее распространенной области «удовлетворительно» она была близка к линейной и в то же время изменялась от 0 до 1 на всем возможном множестве значений показателя. Понятно, что при таком подходе к нормированию функция желательности должна быть более «чувствительна» к изменению значений информативного показателя x в области «удовлетворительно» и менее чувствительна вне ее.

Наиболее известной и часто используемой является функция желательности Харрингтона, впервые примененная им в задачах контроля качества массовой продукции. Шкала Харрингтона устанавливает соответствие между лингвистическими оценками желательности значений показателя х и числовыми интервалами d(х) (табл. 2).

При таком шкалировании значения функции желательности d(x) изменяются в интервале от 0 до 1, причем значение d_i0 соответствует абсолютно неприемлемой величине i-го показателя качества жизни, d_i1 — идеальной величине.

Таблица 2

Числовые интервалы шкалы Харрингтона

Лингвистическая оценка	Интервалы значений функции желательности d(x)
Очень хорошо	1,00-0,80
Хорошо	0,80-0,63
Удовлетворительно	0,63-0,37
Плохо	0,37-0,20
Очень плохо	0,20-0,00

Практически часто ограничиваются тремя градациями шкалы Харрингтона, отвечающим лингвистическим категориям «плохо», «удовлетворительно», «хорошо». В этом случае область, соответствующая уровню «удовлетворительно», расширяется от 0,37 до 0,69, а области «плохо» и «хорошо» характеризуются интервалами (0,00-0,37) и (0,69-1,00) соответственно.

Аналитически для монотонных по предпочтениям критериев, характерных, например, для показателей качества жизни, функция желательности Харрингтона задается следующей формулой:

d_i = d (z_i) = exp (-exp (-z_i)), (3)

z_i = (х_i – х_i0)/( х_i1 – х_i0), (4)

где z_i — кодированные значения i-го показателя, представляющие собой безразмерные величины; х_i — значение i-го информативного показателя; х_i0 и х_i1 — границы области «удовлетворительно» в исходной шкале:

d_i0 = d (z_i (х_i0)) = 0,37; d_i1 = d (z_i (х_i1)) = 0,69. (5)

Функция желательности Харрингтона представляет собой монотонно возрастающую функцию, изменяющуюся от 0 до 1.

При кодированном значении информативного показателя z=0 (нижняя граница области «удовлетворительно») функция желательности принимает значение 0,368, при z=1, т.е. нижняя граница области «удовлетворительно», d(z)=0,692. Для ее построения достаточно, чтобы эксперты указали границы исходных показателей х_i0 и х_i1, внутри которых качество жизни можно считать удовлетворительным. В частности, можно эти значения положить равными х_i1=х_max и х_i0=х_min, т.е. соответственно максимальному и минимальному значению показателя по массиву региональных данных.

Приведем пример. Максимальная величина показателя «Число студентов на 1000 населения» в 1998 г. по выборке регионов Центрального федерального округа, исключая данные для г. Москвы, наблюдалась для Орловской области: х_max=26,9, минимальная х_min=12,2 — для Владимирской. Принимая вышеприведенное определение границ области «удовлетворительно», получаем: х_i1=26,9 и х_i0=12,2. Тогда безразмерная переменная z будет представлять собой ни что иное, как определенный по методике Программы развития ООН, модифицированной для регионов, индекс образования, вычисляемый по формуле:

индекс = (х – х_min)/(х_max – х_min), (6)

где х — значение информативного показателя для региона; х_max и х_min — соответственно максимальное и минимальное значения показателя по массиву региональных данных.

Значения функции желательности для Владимирской и Орловской областей примут значения d(z)=0,368 и 0,692 соответственно. В то же время для Москвы как субъекта Федерации, для которой безразмерная переменная z=4,21, функции желательности составляет d(4,21)=0,985 — значение, достаточно близкое к единице.

На рис. 1 представлены результаты сопоставления значений частного индекса образования и соответствующих величин функции желательности для регионов ЦФО, включая г. Москву (метки регионов проставлены лишь для некоторых из них). Из рис. 1 видно, что значения индекса образования практически линейно связаны с реально достижимыми величинами функции желательности, отвечающими интервалу значений индекса образования от 0 до 1, и лишь выше и существенно ниже интервала «удовлетворительно» четко просматривается нелинейность этой взаимосвязи. Заметим также, что крутизна зависимости функции желательности от индекса образования в области «плохо» заметно больше крутизны кривой в области «хорошо». Этот факт является отражением математических свойств функции Харрингтона, важных в аспекте ее использования в целях управления.

Рис. 1. Функция желательности Харрингтона для индекса образования

Введение шкалы желательности позволяет свести исходную многокритериальную задачу принятия решения с разноразмерными критериями к многокритериальной задаче с критериями, измеряемыми в одной и той же шкале, поэтому следующим этапом является свертка частных функций желательности d_i в обобщенный критерий D.

Обобщенный критерий рекомендуется выбирать из семейства средних по Колмогорову, задаваемых монотонными функциями . Выбор этих функций осуществляется с привлечением суждений экспертов о связи обобщенного критерия с величинами частных функций желательности. Так, логично предположить, что совершенно неудовлетворительная ситуация по одному критерию (d_i0) влечет за собой неудовлетворительную оценку ситуации в целом (D0). В математической форме это суждение находит свое отражение с помощью функций вида:

₁ = ln d, (7)

₂ = -ln (-ln d), (8)

Соответствующие обобщенные критерии равны среднему геометрическому

D₁ = D_G = exp (1/n* ln d_i) = (d₁ d₂ … d_n)^1/n, (9)

и среднему логарифмическому

D₁ = D_L = exp [-(-ln d₁) (-ln d₂)… (-ln d_n)^1/n] . (10)

Если частные критерии неравноценны, то их весовые коэффициенты различны между собой, и обобщенные критерии имеют следующий вид:

D₁ = D_G = exp (1/n* ln d_i) = d₁^1 d₂^2 … d_n^n, (11)

D₁ = D_L = exp [-(-ln d₁)^1 (-ln d₂)^2… (-ln d_n)^n] . (12)

Сравнение критериев D_G и D_L показывает, что обобщенный критерий D_G дает более жесткую оценку, чем D_L: D_G  D_L во всей области определения частных функций желательности.

Помимо выбора вида свертки частных функций желательности в обобщенный критерий, важной задачей является назначение весовых коэффициентов. Один из эффективных методов экспертного оценивания весов — метод аналитических иерархий, логические и алгоритмические основы которого будут рассмотрены позднее.