9. Фомула бейеса.

Вновь рассмотрим полную группу несовместных событий B1,B2..Bn, вероятности появления которых P(B1),P(B2)..P(Bn). Соб А может произойти только при условии наличия гипотез B1,B2..Bn Тогда по формуле полной вероятности Р(А)=Р(Н1)* Р(А|Н1) + Р(Н2)* Р(А|Н2)+…+ Р(Нк), *Р(А|Нк).

Если соб А произошло, то это может изменить вероятности гипотез P(B1),P(B2)..P(Bn).

По теореме умножения вероятностей

откуда

.

Аналогично, для остальных гипотез

Полученная формула называется формулой Байеса.

Вероятности гипотезназываются апостериорными вероятностями (послеопытными), тогда как- априорными вероятностями (доопытными).

ПР: Один из трех стрелков вызывается на линию огня и производит два выстрела. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,3, для второго - 0,5; для третьего - 0,8. Мишень не поражена. Найти вероятность того, что выстрелы произведены первым стрелком.

Решение. Возможны три гипотезы:

А1 - на линию огня вызван первый стрелок,

А2 - на линию огня вызван второй стрелок,

А3 - на линию огня вызван третий стрелок.

Так как вызов на линию огня любого стрелка равновозможен, то

В результате опыта наблюдалось событие В - после произведенных выстрелов мишень не поражена. Условные вероятности этого события при сделанных гипотезах равны:

по формуле Байеса находим вероятность гипотезы А1 после опыта:

10. Схема бернулли. Формула бернулли (док-во на примере). Наивероятнейшее число появлений соб в схеме бернулли. Вероятность наступления хотя бы 1го соб.

11. Понятие случ велич. Дискретная случ велич. Закон распред дискрет случ велич. Ф-ция распред, ее св-ва.

СВ – переменная велич, кот в рез испытаний принимает некоторое определенное знач (х, у, х1, у1..)

Дискретной называют СВ, значения которой изменяются не плавно, а скачками, т.е. могут принимать только некоторые заранее определённые значения. Например, денежный выигрыш в какой-нибудь лотерее, или количество очков при бросании игральной кости, или число появления события при нескольких испытаниях. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.

Закон распределения дискретной случайной величины представляет собой перечень всех её возможных значений и соответствующих вероятностей, т.е. Х=Х1 (соб, котоое заключ в том, что СВ Х приняла значение Х1) Сумма всех вероятностей Σpi = 1.

Закон распределения также может быть задан аналитически (формулой), графически (многоугольником распределения, соединяющим точки (xi; pi) и таблицей.

Функция распределения СВ - это вероятность того, что СВ (назовём её G) примет значение меньшее, чем конкретное числовое значение x: F(X) = P(G < X).

Св-ва:

1.Монотонность. Если х1<х2, то F(х1)< F(х2). F(X) – неубывающ фунция.

2. F(X) при бесонеч знач Х:

А) F(-∞)=|Р(х<-∞)| - невозможно, т.к F(X) – неубывающ фунция.

Б) F(∞)=|Р(х<∞)|=1

В) Значения функции распределения лежат в интервале 0≤ F(X) ≤1

Г) вер попад в интервал определяется формулой Р(А≤ F(X) <В)=F(B) – F(A).