- •Теоретичні відомості до практичної роботи 2
- •5. Анализ временных рядов
- •5.1.Постановка задачи
- •5.1.1. Временные ряды. Задачи исследования временных рядов
- •5.1.2 Компонентный состав рядов динамики
- •5.1.3. Требования к данным
- •5.1.4.Предварительный анализ временных рядов
- •Результаты расчета
- •5.1.4.2.Средние характеристики:
- •5.1.4.3.Автокорреляции в рядах динамики.
- •5.1.4.4.Методы проверки наличия и выделения тенденции.
- •5.1.4.5.Методы проверки наличия сезонности.
- •5.1.5. Методы анализа основной тенденции во временных рядах.
- •5.1.5.1.Механическое сглаживание.
- •5.1.5.2.Аналитическое выравнивание временных рядов.
- •5.1.6.Гармонический анализ
- •5.1.7.Проверка качества прогнозов (сравнение моделей прогнозирования)
- •5.1.7.3.Проверка случайности ряда остатков.
- •5.1.7.4. Проверка гипотезы о нормальности ряда остатков.
- •5.1.7.5. Проверка гипотезы о стационарности ряда остатков.
- •5.1.8.Адаптивные модели и методы
- •5.1.8.2. Модели сс.
- •Модель Брауна
- •Модель Хольта
- •Модель авторегрессии
- •5.1.8.3Линейные параметрические методы
- •Нестационарные модели
- •5.1.9.Анализ сезонных колебаний
- •5.1.9.1. Анализ сезонной волны.
- •5.1.9.2. Адаптивные модели анализа сезонности
- •Базовые сезонные модели, к ним относятся:
- •Сезонные модели скользящего среднего
- •Модель Хольта-Уинтерса
- •Сезонные модели авторегрессии
- •5.1.9.3. Cезонные модели арисс (сезонная модель Бокса-Дженкинса)
- •5.1.10. Прогнозирование
- •5.1.10.1. Методы экстраполяции.
- •5.1.10.2. Прогнозирование экономических показателей с помощью кривых роста.
- •5.1.10.3. Адаптивные методы прогнозирования
5.1.5.2.Аналитическое выравнивание временных рядов.
Для аналитического выравнивания временных рядов используются различные функции (кривые роста). Расчет кривых роста рассматривается как построение парной регрессии, в которой объясняющей переменной является время. Для перечисленных выше кривых роста реализованы те же вычислительные процедуры, что и в парной регрессии. Наиболее часто используются следующие 7 функции (табл. 5.3).
Табл.5.3
Система нормальных уравнений для уравнения регрессии
Форма связи |
Уравнение регрессии |
Система нормальных уравнений |
Линейная | ||
Парабола | ||
Экспонента | ||
Гипербола | ||
Полулогарифмическая | ||
Показательная | ||
Степенная |
Оценка параметров уравнений регрессии осуществляется методом наименьших квадратов, в результате чего получаем систему нормальных уравнений, неизвестными в которых являются параметры уравнения регрессии. В табл. 5.3 для каждого типа уравнения регрессии в третьем столбце приведена система нормальных уравнений. Для решения их относительно параметров уравнений регрессии можно использовать матричные методы (метод обратной матрицы, метод Крамера, метод Гаусса, метод Жордана и т.д.).
Оценка качества выравнивания производится по критерию минимума средней квадратической ошибки и результатам анализа отклонений (случайной компоненты) на независимость, нормальность и случайность.
Применяются две функции, которые не сводятся к модели линейной регрессии. Это функции:
Гомперца:
Логистическая
Для поиска их параметров используется метод многомерной численной оптимизации.
5.1.6.Гармонический анализ
Когда в рядах динамики содержаться заметные периодические колебания, которые нельзя описать с помощью кривых роста и если в остатках наблюдается автокорреляция, то сглаживание с помощью кривых роста не всегда приводит к удовлетворительным результатам. В таких случаях на практике можно прибегнуть к гармоническому анализу, который заключается в том, что исходный ряд Yt преобразуется в новый ряд Yt*:
(5.28)
где: a0, ak, bk - параметры ряда Фурье;
k - гармоника ряда;
T - период колебаний.
Коэффициенты вычисляются по соотношениям:
a0 -y - среднее значение;
; (5.29)
. (5.30)
Таким образом, временной ряд представлен в виде суммы гармоник
Мощность каждой гармоники равна:
(5.31)
k-я гармоника считается статистически значимой, если она вносит существенный вклад в дисперсию временного ряда, то есть если отвергается статистическая гипотеза о том, что . Для проверки гипотезы вычисляется критерий:
, (5.32)
где 2 - оценка дисперсии отклонения вычисляемых значений от фактических:
. (5.33)
Вычисляемая величина имеет F-распределение с v1 = 2 и v2 = T - k степенями свободы.
Гипотеза отвергается, то есть гармоника считается значимой, если вычисленная величина больше чем % точка F распределения с соответствующими степенями свободы ( = 0.95).
Наиболее подходящей считается та функция Yk(t), при которой средняя квадратическая ошибка
(5.34)
имеет наименьшее значение.