2 курс ФК, ЕП, УП Денне / Волошина Статистика Курс лекцій 2011 / Статистика Волошина Електр посібнКурс лекцій із дисц статистика 2011 / 6 / wlastuw dyspersiy

Властивості дисперсії

Середнє квадратичне відхилення також пов’язане з середнім лінійним відхиленням. За правилом мажорантності середніх  > . Якщо обсяг сукупності досить великий і розподіл ознаки наближається до нормального, то між середнім квадратичним та середнім лінійним відхиленнями існує такий взаємозв’язок:

 = 1,25, або = 0,8.

Для нормального розподілу варіативної ознаки справедливе також твердження, що R = 6. Значення ознаки в межах ( ) мають 68,3 % обсягу сукупності, у межах ( 2) – 95,4 %, а в межах ( 3) – 99,7 %. Це відоме “правило трьох сигм”.

Дисперсія, або середній квадрат відхилення ( ² ), посідає особливе місце в статистичному аналізі соціально-економічних явищ. Завдяки своїм математичним властивостям, вона має важливе значення не лише під час вивчення варіації, але є невід’ємним і важливим елементом інших статистичних методів аналізу, зокрема, вибіркового, дисперсійного та кореляційно-регресійного.

Дисперсію використовують не лише для оцінки варіації, а й для вимірювання взаємозв’язків, для перевірки статистичних гіпотез тощо.

Для ознак метричної шкали дисперсія є базою для обчислення середнього квадратичного відхилення, оскільки , і залежно від наявних даних може бути простою (для не згрупованих даних):

або зваженою (для згрупованих даних):

,

де х_і – індивідуальні значення окремої ознаки, варіанти

– середня арифметична (середнє значення ознаки)

n – обсяг сукупності, кількість ознак у сукупності

f_i – частота відповідної ознаки.

Дисперсія має певні математичні властивості:

1. Якщо кожну варіанту зменшити або збільшити на одну й ту саму величину А, дисперсія не зміниться. Математично це записується у такому вигляді:

.

2. Якщо кожну варіанту збільшити або зменшити в k разів, то дисперсія зміниться в k ² разів:

.

3. Якщо частоти замінити частками, дисперсія не зміниться. Математично це виражається так:

=  (х _і – ) ²d _i.

Нескладними алгебраїчними перетвореннями можна довести, що дисперсія – це різниця квадратів, а саме різниця між середнім квадратом і квадратом середньої величини:

,

де – середній квадрат значень ознаки

– квадрат середньої величини.

Середній квадрат значень ознаки розраховується за формулою:

,

де х _і – значення окремої ознаки

n – обсяг сукупності (кількість ознак).