2 курс. Ден. ФК, УП, ЕП 12 / Економіко математичні методи та моделі (Оптимізаційні методи) Ч.1 Ден. 2010

економічною системою розуміють складну ймовірнісну динамічну систему, що охоплює процеси виробництва, обміну, розподілу і споживання матеріальних та інших благ. Соціально-економічні системи належать до класу кібернетичних, тобто керованих, систем.

Практичними завданнями економіко-математичного моделювання є:

−аналіз економічних об'єктів і процесів;

−економічне прогнозування, передбачення розвитку економічних процесів;

−вироблення управлінських рішень на всіх рівнях господарського управління.

Об'єкт вивчення дисципліни ”Економіко-математичні методи та моделі” – соціально-економічні системи, економіка та її підрозділи, окремі господарські одиниці, процеси, які в них відбуваються.

Предмет дисципліни – методологія та методика моделювання, математичні моделі реальних економічних (соціально-економічних) об'єктів та їх аналіз.

Методами, що їх використовують у моделюванні економіки (соціально-економічних систем), є синергетичний і системний аналіз економіки як складної нестабільної динамічної системи.

При вивченні цієї теми слід зазначити, що термін ”модель” широко використовується в різних сферах діяльності людини. Сучасна наука неможлива без застосування економіко-математичного моделювання.

Термін «модель» походить від латинського слова «modulus» – зразок, норма, міра.

Модель – це об’єкт, що заміщує оригінал і відбиває найважливіші риси і властивості оригіналу для даного дослідження за обраною системою гіпотез. Математична модель – це абстракція реальної дійсності, в якій відношення між реальними елементами подаються у формі математичних рівнянь, нерівностей і т.і.

20

Під економіко-математичною моделлю розуміють концентроване вираження найсуттєвіших економічних взаємозв'яків досліджуваних об'єктів (процесів) у вигляді математички функцій, нерівностей і рівнянь.

Етапи побудови економіко-математичної моделі

1.Постановка економічної проблеми та її якісний аналіз.

2.Математичний аналіз моделі.

3.Підготовка вихідної інформації.

4.Числові розв'язки.

5.Аналіз результатів та їх використання.

Для класифікації моделей використовують різні класифікаційні ознаки.

За цільовим призначенням економіко-математичні моделі поділяються на теоретико-аналітичні, що використовуються під час дослідження загальних властивостей і закономірностей економічних процесів, і прикладні, що застосовуються у розв'язанні конкретних економічних задач (моделі економічного аналізу, прогнозування, управління).

Економіко-математичні моделі можуть призначатися для дослідження різних сторін функціонування народного господарства (зокрема, його виробничо-технологічної, соціальної, територіальної структури) і його окремих частин. У класифікації можна виокремити моделі народного господарства загалом і його підсистем – галузей, регіонів тощо; комплекси моделей виробництва, споживання, формування і розподілу доходів, трудових ресурсів, ціноутворення, фінансових зв'язків тощо.

Відповідно до загальної класифікації математичних моделей н поділяються на функціональні та структурні, а також проміжні форми (структурно-функціональні).

Моделі поділяють на дескриптивні та нормативні.

21

Застосування дескриптивного підходу в моделюванні економіки пояснюється необхідністю емпіричного виявлення суттєвих залежностей в економіці, встановлення статистичних закономірностей економічної поведінки соціальних груп, вивчення ймовірних шляхів розвитку якихось процесів за незмінних умов чи таких, що відбуваються без зовнішніх впливів. Прикладом дескриптивних моделей є виробничі функції та функції купівельного попиту, побудовані на підставі опрацювання статистичних даних.

За характером відображення причинно-наслідкових аспек тів розрізняють моделі жорстко детерміновані і моделі, що враховують випадковість і невизначеність.

За способами відображення чинника часу економіко-математичні моделі поділяються на статичні й динамічні.

Моделі економічних процесів надзвичайно різноманітні формою математичних залежностей. Розрізняють лінійни і нелінійти моделі,

Відмінності між лінійними і нелінійні-моделями є суттєвими не лише з математичної точки зору, а теоретико-економічному відношенні, бо багато залежностей економіці мають принципово нелінійний характер: ефективні використання ресурсів за зростання виробництва, зміни попиту споживання населення, збільшення виробництва, зміни попиту населення зі зростанням доходів тощо.

За співвідношенням екзогенних і ендогенних змінних, які включаються в модель, вони поділяються на відкриті і закриті.

Для моделей народногосподарського рівня важливим є поділ на агреговані та деталізовані. Залежно від того, містять народногосподарські моделі просторові чинники й умови чи не містять,

розрізняють моделі просторові і точкові.

Завдання до самостійної роботи

1. Наведіть основні характеристики економічної системи як об'єкта моделювання.

22

2.Визначіть математичне моделювання як метод наукового пізнання економічних явищ і процесів.

3.Визначіть особливості економіки як об’єкта моделювання.

4.Проведіть класифікацію економіко-математичних моделей.

Питання для самоконтролю

1.Визначіть поняття моделі.

2.Назовіть основні етапи процесу моделювання.

Бібліографічний список до теми

[1], [3], [4], [5], [6], [7], [8], [10], [13], [14], [15], [16].

Тема 2. Оптимізаційні економіко-математичні моделі

Мета: опрацювання питань згідно запропонованого плану вивчення теми, закріплення, поглиблення та систематизація знань з економічної та математичної постановки задач оптимізації, класифікації моделей і методів розв’язування задач математичного програмування, прикладів економічних задач, які доцільно розв’язувати, застосовуючи методи та моделі математичного програмування.

План вивчення теми

1.Економічна та математична постановка оптимізаційних задач. Вибір критерію оптимізації, функціональних та не функціональних обмежень задачі.

2.Класифікація моделей і методів розв’язування задач математичного програмування.

3.Приклади економічних задач, які доцільно розв’язувати, застосуючи методи та моделі математичного програмування.

4.Історія розвитку та сучасний стан дослідження операцій.

23

Методичні рекомендації до самостійної роботи

При вивченні цієї теми слід зазначити, що метою багатьох економічних дисциплін є знаходження оптимальних планів розвитку економічних систем на з використанням кількісних методів. Дисципліна “Математичне програмування“ – це один із розділів математики, який займається розв’язуванням оптимізаційних задач, а саме вивчає теорію і методи знаходження екстремумів функцій багатьох змінних за умов додаткових обмежень, записаних у вигляді нерівностей і рівнянь. Тому є логічним та обґрунтованим використання саме методів математичного програмування для знаходження розв’язуванням оптимізаційних задач в сфері економіки.

Розв’язування таких задач полягає у послідовному виконанні таких етапів:

1.Формулювання мети функціонування системи.

2.Побудова економіко-математичної моделі, яка включає таки кроки:

−виділення сукупностей параметрів, які характеризують саму систему, і керованих змінних, за якими роблять висновки про результати її функціонування;

−математичних запис умов, за яких функціонує система у вигляді системи нерівностей і рівнянь (їх називають обмеженнями), які пов'язують параметри системи із введеннями змінними:

−проведення оцінки ефективності функціонування системи за допомогою цільової функції (або функції мети). При цьому найкращому функціонуванню системи відповідатиме найбільше (найменше) значення цільової функції.

3.Розв’язання такої математичної задачі (вручну або за допомогою комп’ютерної техніки).

4. Економічна інтерпретація результатів, перевірка моделі на адекватність.

Термін “математичне програмування“ виник набагато раніше,

24

ніж з’явилися перші комп’ютери і розпочалося програмування на них. Цей термін близький до таких понять, як “планування”, “прийняття рішень”.

Загальна постановка оптимізаційної задачі. Потрібно знайти найбільше або найменше значення функції від декількох аргументів (1) за певних обмежень (2):

найбільшого (найменшого) значення за допомогою знаходження градієнтів, дослідження функції Лагранжа, побудова спеціальних таблиць згідно із симплексним методом, в окремих випадках використовують графічні методи.

Якщо функція F і система обмежень gi i =1;m є лінійними функціями, то задача (1)-(2) називається задачею лінійного програмування. Якщо хоча б одна з функцій F або gi, i =1;m нелінійна,

то задача (1)-(2) називається задачею нелінійного програмування.

Залежно від обмежень на функції F, gi , i =1;m та змінних x j , j =1,n ,

виділяють різни види нелінійного програмування: опукле, квадратичне,

дробово-лінійне, дискретне.

Динамічне програмування дозволяє результати, які отримані на попередніх кроках враховувати на наступних. В тому випадку, коли доводиться брати до уваги вплив випадкових факторів, такі задачі відносять до стохастичного програмування.

Прикладами математичного розв'язування економічних задач є

такі.

25

Задача визначення оптимального плану виробництва: необхідно визначити план випуску n видів продукції за умови

найкращого способу використання її наявних ресурсів. У процесі виробництва задіяні m ресурсів: сировина, трудові ресурси, фінансові ресурси, технічне оснащення тощо. Відомі загальні запаси ресурсів bi (i =1,m) , норми витрат i - того ресурсу на виробництво одиниці j -ої продукції aij (i =1,m; j =1,n) та прибуток з одиниці j -ої реалізованої продукції c j ( j =1,n) . Критерієм оптимальності є максимум прибутку.

F = c1x1 +c2 x2 +K+cn xn → max

за умов:

a11x1 +a12 x2 +K+a1n xn ≤ b1a21x1 +a22 x2 +K+a2n xn ≤ b2

LLLLLLLLLLL

am1x1 +am2 x2 +K+amn xn ≤ bm x1 ≥ 0, x2 ≥ 0,Kxn ≥ 0.

Задача про „дієту” (або про суміш): раціон складається з n видів продуктів. Відомі вартість одиниці кожного продукту c j ( j =1,n),

кількість необхідних організму поживчих речовім m та потреба в кожній bi (i =1,m) . В одиниці j -го продукту міститься aij (i =1, m; j =1, n) поживної речовини i . Необхідно знайти оптимальний

раціон X = (x1, x2 ,K, xn ), що враховує вимоги забезпечення організму кількістю поживчих речовин. Критерієм оптимальності є мінімальна вартість раціону.

Лінійна економіко-математична модель даної задачі має вигляд:

F = c1x1 +c2 x2 +K+cn xn → min

за умов:

26

пунктів споживання деякої однорідної продукції. Відомі обсяги виробництва продукції у кожному i -тому пункті ai (i =1,m) та потреби кожного j -того пункту споживання b j ( j =1,n). Також задана матриця розмірністю m ×n, елементи якої cij (i =1,m; j =1,n) є вартостями транспортування одиниці продукції з i -того пункту виробництва до j -

того пункту споживання. Необхідно визначити оптимальні обсяги перевезень продукції X = xij (i =1,m; j =1;n) з урахуванням наявності продукції виробників та забезпечення вимог споживачів. Критерієм оптимальності є мінімальна вартість перевезень.

Лінійна економіко-математична модель даної задачі має вигляд:

F= c11x11 +c12 x12 +K+c1n x1n +c21x21 +c22 x22 +K+c2n x2n +L

+cm1xm1 +cm2 xm2 +K+cmn xmn → min

за умов:

x11 + x12 +K+ x1n ≤ a1

x21 + x22 +K+ x2n ≤ a2

LLLLLLLLLLL

xm1 + xm2 +K+ xmn ≤ amx11 + x21 +K+ xm1 = b1x12 + x22 +K+ xm2 = b2

LLLLLLLLLLL

x1n + x2n +K+ xmn = bn. xij ≥ 0,(i =1,m; j =1,n).

27

Задача раціонального розкрою матеріалу: матеріал надходить на підприємство у вигляді цілих одиниць стандартних розмірів. Для виробничого використання його розрізають на частини, щоб одержати заготовки необхідного розміру й форми так, щоб відходи матеріалів були найменшими. Позначимо m- кількість різних заготовок, bi (i =1,m) -

план заготовок i - того виду, n - кількість різних способів розкрою стандартного матеріалу; bij (i =1,m; j =1,n) кількість заготовок i - того

виду, одержаних за допомогою j - того способу розкрою; c j ( j =1,n) -

кількість відходів при j -тому способі розкрою; z - загальна кількість

відходів. Необхідно визначити кількість одиниць вихідного матеріалу x j ,

яку потрібно розрізати j -им способом. Критерієм оптимальності є

мінімальна кількість вихідного матеріалу.

Лінійна економіко-математична модель даної задачі має вигляд:

F = c1x1 +c2 x2 +K+cn xn → min

за умов:

b11x1 +b12 x2 +K+b1n xn = b1b21x1 +b22 x2 +K+b2n xn = b2

LLLLLLLLLLL

bm1x1 +bm2 x2 +K+bmn xn ≥ bm x1 ≥ 0, x2 ≥ 0,Kxn ≥ 0.

Задача оптимального призначення. Розподілити n робітників за n

видами робіт так, щоб їх загальна продуктивність праці була максимальною. Дані стосовно продуктивності праці кожного робітника на устаткуванні кожного виду наведено в таблиці:

28

Дану задачу можна розглядати як транспортну, в якій робітники ототожнюються з постачальниками вантажів, а види робіт – зі споживачами цих вантажів. Обсяги пропозиції та попиту в кожному випадку дорівнюють одиниці. Отже, змінні будуть бульовими:

Якщо сij - продуктивність праці i – го робітника на j – му устаткуванні,

то економіко-математичну модель про призначення у загальному вигляді можна записати так:

Завдання для самостійнї роботи

1. Для закупівлі обладнання підприємство виділяє 340 гр. Обладнання повинно бути розташовано на площі не більшій 60 м2. Можна замовити обладнання – станки двох типів. Потужність станків першого типу складає 400 деталей, другого типу – 200 деталей за зміну. Станок першого типу коштує 4000 гр. і займає площу 5 м2, станок другого типу коштує 3000 гр. і займає площу 3 м2. Потрібно розрахувати оптимальний варіант закупки обладнання, що забезпечує за даних умов максимум його загальної продуктивності. При цьому потрібно врахувати, що станків

29