Классификация линейных дифференциальных урав­нений с частными производными второю порядка.

Общий вид линейного диффе­ренциального уравнения второго порядка при условии, что неизвестная функция u зависит от двух переменных x и y, таков:

(1)

Предполагаем, что все коэффициенты уравнения постоянны {Приводимая ниже классификация линейных уравнений пере­носится и на уравнения с переменными коэффициентами, которые здесь не рассматриваются}.

Большинство дифференциальных уравнений второго порядка математиче­ской физики пред­ставляют частные случаи общего уравнения (1).

Так, если для единообразия обозначений вместо пере­менной t (времени) писать переменную y, то уравнение сво­бодных колебаний струны (§ 1) примет вид

(2)

a уравнение линейной задачи теплопроводности (§ 12)

(3)

Наконец, уравнение Лапласа (§18) в двумерном случае имеет вид

(4)

В уравнении (4) обе вторые частные производные входят в левую часть с одинаковыми знаками, в уравнении (2) — с противоположными знаками, а в уравнении (3)—вторая производная по одной из переменных вовсе не входит.

Л. Эйлер доказал, что любое дифференциальное урав­нение вида (1) с помощью замены независимых переменных x и y может быть приведено к одному из следующих трех видов.

1. Если то после введения новых незави­симых переменных и

{мы ограничимся только принципиальной стороной вопроса и не указывая формул, по которым фактически производится замена переменной } уравнение (1) примет вид

(5)

В этом случае уравнение называется эллиптическим. Наи­более простым эллиптическим уравнением является уравнение Лапласа (4).

2. Если то уравнению (1) можно при­дать вид

(6)

Такое уравнение называется гиперболическим; простей­шим примером его является одномерное уравнение свободных колебаний (2).

3. Если то уравнение (1) приводится

к следующему:

(7)

и называется параболическим. Примером его служит урав­нение линейный теплопроводности (3).

Наименования уравнений объясняются тем, что при исследовании общего уравнения кривых второго порядка оказывается, что в случае кривая представляет эллипс, в случае — гиперболу и в случае - параболу.

{Поскольку бывают еще случаи вырождения кривых второго порядка, то чаще говорят, что в первом случае кривая эллиптического типа, во втором — гиперболического и в треть­ем— параболического (см., например, книгу Н. В. Ефимова «Квадратичные формы и матрицы», Физматгиз, М., 1967)}

Уравнения (5), (6) и (7) можно еще более упростить введением новой неизвестной функции. Именно, вводя функ­цию по формуле

(8)

мы можем всегда подобрать числа и так, что в эллипти­ческом и гиперболическом уравнениях исчезнут члены с про­изводными первого порядка, а в параболическом — член с первой производной по одной из независимых переменных (в уравнении (7) по ) и член с самой функцией.

Введение вспомогательной функции по формуле (8) уже встречалось нам в п. 21 при изучении телеграфного уравнения для линии без искажений (см. формулу (7.13)).

Окончательно любое уравнение вида (1) может быть, с учетом сделанных замечаний, приведено к одному из сле­дующих канонических типов:

(эллиптический тип),

(гиперболический тип),

(параболический тип)

(с—постоянное число, g — функция переменных х и у).