ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА

государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ»

(МИИТ)

Одобрено кафедрой

“Теоретическая и Прикладная Механика” РОАТ

“Теоретическая механика”

Методические указания по решению задач контрольной работы №3 по динамике

РОАТ 2012 г.

2

Составители:

И.В. Капранов проф, канд.техн.наук., Дубровин В.С. доц., канд.техн.наук,

2

3

Оглавление Методические указания по решению задач контрольной работы

№3 по динамике………………………………………………………..

Первая и вторая задачи динамики материальной точки ………..

Теорема об изменении количества движения. Теорема о движении центра масс……………………………………………………………………

Теорема об изменении кинетического момента вокруг неподвижной оси……………………………………………………………………………

Теорема об изменении кинетической энергии…………………..

Принцип Даламбера. Общее уравнение динамики…………….

Принцип возможных перемещений……………………………..

3

4

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №3 ПО ДИНАМИКЕ

К любой задаче механики обязателен рисунок, на котором должны быть схематично указаны тела, влияющие на решение рассматриваемой задачи, система координат и действующие силы. Следует рисовать промежуточное, характерное положение движущихся тел, наиболее полно отражающее особенности задачи. Начало координат и направления осей выбираются произвольно. В оформлении решения задачи студент вправе приводить дополнительные рисунки, иллюстрирующие решение (начальное и конечное положение тел, проекции тел на координатные плоскости и т.д.).

Если при решении задачи необходимо выполнять интегрирование, то для определения констант интегрирования необходимы начальные условия движения. Если таковые в тексте задачи отсутствуют, то студент в праве самостоятельно принять любые начальные значения координат и скоростей.

Решение задачи должно представлять собой логически связанную цепочку математических выкладок, снабженных небольшими комментариями, в которых решения не требует комментариев – достаточно привести ссылки на известные законы и теоремы динамики и указание узловых моментов решения.

Если в задаче заданы численные значения, то и ответ должен быть численным. Для правильного ответа достаточно точности расчетов 5%. Это означает, что достаточно оставлять при расчетах только одну верную цифру после десятичной точки (если целая часть равна нулю, то оставлять следует две цифры после десятичной точки).

Если исходные данные указаны в тексте задачи алгебраически (буквами или символами), то и ответ должен быть алгебраическим т.е. представлять собой формулу. Причем в правой части этой формулы могут находиться только те параметры, которые упомянуты в тексте задачи. Исключение может быть сделано только для всем известных констант,

4

5

например, число ( 3.14), число ( е 2.82), ускорение свободного падения ( g 9.81 м/с2) и т.д. Ответ должен быть максимально упрощен.

Недопустимо, чтобы часть однородных параметров была использована в одних единицах, а часть – в других (например, длина тел задана в см, а их перемещения – в м). Перед началом расчетов необходимо привести такие величины к единой единице измерений.

5

6

ПЕРВАЯ И ВТОРАЯ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Задача1 (рис1.)

Точка массы m движется в плоскости Оху согласно уравнениям: x asin t; y bcos t .

Найти силу, действующую на точку.

Решение (рис1.)

Найдем траекторию точки. Исключив время t из уравнений ее движения. Получим

Траекторией точки М является эллипс с полуосями a и b .

(рис1.)

При t=0 х0 = 0 и у0 = b. Точка движется по эллипсу по часовой стрелке. Проекции приложенной к точке силы F на оси координат:

Fx mx ma 2 sin t m 2 x; Fy my mb 2 cos t m 2 y.

Проекции радиус-вектора r точки М на оси координат и длина этого вектора равны:

6

r rx2 ry2 x2 y2 .

Далее получаем:

Сила F направлена к точке О и её величина пропорциональна расстоянию от начала координат до точки приложения этой силы.

Задача2 (рис2.)и (рис3.)

Груз М массы m = 0,102 кг, подвешенный на нити длиной ОМ= l = 0,3 м в точке О, представляет собой конический маятник, то есть описывает окружность в горизонтальной плоскости, причем нить составляет с вертикалью угол α = 60о .

(рис2.)

Определить скорость v груза и натяжение T нити.

Решение (рис3.)

Будем считать груз материальной точкой. Приложим к точке М силу тяжести mg и натяжение нити T .

7

8

(рис3.)

Построим подвижную естественную систему координат Мτnb. Суммы проекций приложенных к точке сил на указанные оси :

Составим дифференциальные уравнения движения точки в подвижной естественной системе координат:

Из системы уравнений находим:

С учетом исходных данных получаем:

Задача3 (рис4.)

Тело спускается по наклонной плоскости, расположенной под углом к горизонту. В начальный момент тело имело скорость V0 . Найти уравнение

движения тела, если коэффициент трения равен f .

Решение. (рис4.)

8

9

Примем тело за материальную точку М . Начало координат поместим в начальное положение материальной точки. Ось Х направим вдоль наклонной плоскости в сторону движения точки, а ось Y – перпендикулярно плоскости.

(рис4.)

Приложим к точке силу тяжести mg , нормальную реакцию плоскости N и силу трения Fтр. Составляем уравнения движения точки

mx mg sin Fтр my N mg cos

Поскольку движение точки происходит только вдоль оси Х, то y 0 и из второго уравнения следует, что N mg cos .

Сила трения не обеспечивает точке состояние покоя (точка движется), сила трения имеет предельное значение Fтр fN fmg cos .

Итак, уравнение движения точки имеет вид

Задача4 (рис5.)

Материальная точка массой m движется прямолинейно под действием силы F F0 cos t ( F0 и - постоянные величины). Пренебрегая весом,

9

10

определить скорость и положение точки в момент времени t1 2 , если она

в начальный момент находилась в начале координат и ее скорость была равна

V0 .

Решение. (рис5.)

Точка движется прямолинейно, поэтому достаточно одной оси координат. Направим ось Х вдоль траектории точки. Изобразим точку в промежуточном положении на ее траектории. Приложим к точке силу F (вес точки и реакции связей отсутствуют).

(рис5.)

Составим уравнение движения точки

mx F0 cos t

Скорость точки :

Находим для момента времени t1

2

10