Решение:
Данная система имеет размер 2×3. Она однородна, т.к. свободный член в каждом уравнении равен нулю. Число уравнений меньше числа неизвестных. Следовательно, множество решений системы бесконечно.
Проведем преобразования:
Для этого проведём преобразования матрицы А:
-
Отнимем от элементов первой строки элементы второй строки, умноженные на 2;
-
К первой строке добавим третью;
-
Третью строку умножим на 3 и вычтем из неё вторую строку;
Ранг матрицы системы равен двум, так как только среди ее миноров
второго порядка есть отличный от нуля, например минор
Следовательно, данная система эквивалентна системе
,
Отсюда
Следовательно, множество решений системы имеет вид
.
Задача 74. Даны два линейных преобразования. Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее через
Решение:
Составим две матрицы:
и
найдем их произведение:
Поэтому искомое линейное преобразование имеет вид:
Задача 84. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей.
Решение:
-
Характеристическое уравнение данного преобразования имеет вид:
Корни этого уравнения следующие: ; ;
-
Все корни являются собственными числами.
-
Чтобы найти собственный вектор с собственным числом , полагаем в системе . Получим
Решение этой системы можно записать в виде
; ;
Вектор , где и — любые числа, удовлетворяющие условию , является собственным вектором данного преобразования с собственным числом .
-
Аналогично находим собственный вектор с собственным числом :
; ;
Вектор , где — любое число, удовлетворяющее условию , является собственным вектором данного преобразования с собственным числом .
-
Аналогично находим собственный вектор с собственным числом :
; ;
Вектор , где — любое число, удовлетворяющее условию , является собственным вектором данного преобразования с собственным числом .
Задача 94. Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка, используя теорию квадратичных форм.
Решение:
Введем обозначение. Тогда матрица данной квадратичной формы
.
Найдем собственные значения этой матрицы. Ее характеристическое уравнение имеет вид
,
откуда ; . Тогда квадратичная форма имеет следующий канонический вид: . Переходя к исходному уравнению, получаем . Т.е. имеем эллипс
Задача 104. Построить график функции преобразованием графика функции .
Решение:
-
Построим график функции :
-
График общей синусоиды с амплитудой , круговой частотой и фазой получим синусоиды последствием преобразований:
растяжением в раз в направлении оси ,
растяжением в = раз в направлении оси
и последующим параллельным переносом по оси на .
Задача 114. Дана функция на отрезке . Требуется:
1) построить график функции в полярной системе координат по точкам, давая значения через промежуток /8, начиная от =0;
2) найти уравнение полученной линии в прямоугольной декартовой системе координат, начало которой совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью, и по уравнению определить, какая это будет линия.