II Определение поверхностного интеграла 2го рода

Пусть на двусторонней поверхности задана функция. Выберем определённую сторону поверхности (для этого достаточно в какой-либо точкевыбрать одно из двух возможных направлений нормали). Проведём следующую процедуру.

1^й_шаг. Разобём произвольным образом начастейи обозначим.

2^й_шаг. В каждой из частей выберем произвольную точку. Выбор стороны поверхности определит направление нормали в этой точке.

3^й_шаг. Спроектируем на координатную плоскостьи площади этой проекции припишем знак, если нормаль в точкесоставляет с осьюострый угол, и знакв противном случае. Эту площадь со знаком обозначим

.

4^й_шаг. Составим интегральную сумму

.

Определение. Если при существует конечный предел, не зависящий от разбиенияна части и от выбора точекв этих частях, то этот предел называют поверхностным интегралом 2^го рода от функции по выбранной стороне поверхности и обозначают символом

.

Замечание 1. В обозначении интеграла не содержится указания о выбранной стороне поверхности, так что это указание приходится делать отдельно.

Свойства поверхностного интеграла 2^го рода очевидны: 1) линейность; 2) аддитивность; 3) при замене выбранной стороны поверхности противоположной стороной интеграл меняет знак.

Замечание 2. Обычно рассматривают вектор-функцию и каждую частьповерхностипроектируют не только на плоскость, но и на плоскости и . Знак илиплощадям этих проекций присваивают исходя из угла нормали с осямиисоответственно. И поверхностный интеграл 2^го рода от вектор-функции имеет вид

(1)

Этот поверхностный интеграл называют потоком вектор-функции через поверхностьв направлении выбранной стороны. Само название связано с такой гидромеханической задачей:

если в некоторой части пространства происходит движение жидкости со скоростью , то количество жидкости (поток), протекающей через поверхностьв единицу времени в направлении выбранной стороны, определяется поверхностным интегралом (1).

III Вычисление поверхностного интеграла 2го рода

Теорема. Пусть поверхность может быть задана явными уравнениями

а вектор функция непрерывна на. Тогда поверхностный интеграл 2^го рода существует и вычисляет по формуле

При этом перед каждым двойным интегралом берется знак , если выбранная сторонаявляется «верхней» (относительно соответствующей оси), и знакв противном случае.

Например, если и выбрана верхняя сторона относительно оси, то

.

Здесь:

IV Формула Стокса

Эта формула связывает криволинейный интеграл 2^го рода по границе поверхности с поверхностным интегралом 2^го рода по . Она является обобщением формулы Грина.

V Формула Остроградского-Гаусса

Эта формула связывает тройной интеграл по некоторому телу с поверхностным интегралом 2^го рода по поверхности тела

Замечание 3. Используя написанную формулу, легко получить формулу для вычисления объёма области :

Здесь – внешняя сторона поверхности, ограничивающей область.

Список рекомендованной литературы

1. Ильин В.А., Позняк Э.К. Основы математического анализа, ч. I. – М.: «Наука», 1982. – с. 616.

2. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисле-ния, том III.–М.:"Наука", 1966.– с. 656.

3. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. – М.: «Наука», 1966. – с. 544.

4. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты). – М.: «Высш. школа», 1983. – с. 175.

5. Конспект лекций по “Математическому анализу. Часть 1” (для студентов направления подготовки 6.050102 “Программная инженерия”) /сост.: Скворцов А.Е. – Донецк: ДГТУ, 2008.- с.143.