Лекция № 43. Тема 6 : Системы дифференциальных уравнений

6.1. Нормальные системы дифференциальных уравнений

К решению систем дифференциальных уравнений приводят задачи по изучению колебательных процессов в технике, физике, механике. Вибрации сооружений, электромагнитные колебания, колебания упругих тел  все эти процессы описываются системами дифференциальных уравнений.

В качестве примера рассмотрим движение материальной точки массой т в плоскости Оху. Согласно второму закону Ньютона имеем

Спроектируем векторное равенство на координатные оси

(1)

Получена система дифференциальных уравнений относительно двух неизвестных функций , которые определяют положение точки на плоскости. Здесь t  время,

 проекции скорости,

 проекции ускорения на координатные оси.

Будем рассматривать системы дифференциальных уравнений, каждое уравнение которой разрешено относительно старшей производной – канонические системы. Такую систему, путём введения дополнительных функций, всегда можно привести к эквивалентной ей системе дифференциальных уравнений первой порядка (ДУ-1), разрешенных относительно производной.

Например, приведём систему (1) к системе ДУ-1.

Введём функции . Тогда она примет вид

Поэтому в дальнейшем будем рассматривать только такие системы.

Определение 1. Нормальной системой дифференциальных уравнений называется система дифференциальных уравнений вида

(2)

где - искомые функции, а заданные функции в некоторой области G переменных .

Определение 2. Решением системы (2) называется совокупность п дифференцируемых функций: , которые при подстановке в систему ДУ, обращают каждое уравнение в тождество.

Определение 3. Совокупность функций называется общим решением системы ДУ (2), если:

1. Эти функции являются решением системы при любых значениях ;

2. Для любых начальных условий вида

(3)

из области G можно найти такие значения , при которых каждая функция этой совокупности удовлетворяет условиям (3).

Задача Коши для системы (2) формулируется следующим образом: Найти такое решение , которое удовлетворяет начальным условиям (3).

Теорема (о существовании и единственности решения задачи Коши).

Если правые части системы ДУ (2) и их частные производные по переменным непрерывны в области G, то для любой точки существует единственное непрерывное решение задачи Коши, удовлетворяющее начальным условиям (3).