
Литература (математика) / Модули 1-4 / МОДУЛЬ-4 / ЭКСТРЕМУМ-ФНП-2лекц-35-36
.doc
Лекция № 35. Тема 4 : Экстремум функции нескольких переменных
4.1. Необходимые условия экстремума
Определение 1.
Функция
имеет максимум (минимум) в точке
,
если для любой точки
выполняется неравенство
.
Максимум и минимум называются экстремумами
функции.
Возьмем точку
,
дадим в
ее окрестности приращения аргументам
,
тогда приращение функции
и,
если
,
то точка
- точка максимума, если
точка минимума. z
Пример 1. Рассмотрим функцию
и точку
(см. рис.).
В этой точке имеем
точка минимума.
O
y
x
Теорема (необходимые
условия экстремума).
Если функция
достигает экстремума в точке
,
то в этой точке частные производные
и
равны нулю, или не существуют.
Дадим переменной
у
определённое значение у0.
Тогда
будет функцией одного переменного х.
При значении
она имеет экстремум, поэтому частная
производная
,
либо не существует.
Аналогично
доказывается и для частной производной
.
Это условие не является достаточным, что видно из примера.
Пример 2.
Рассмотрим функцию
.
Тогда
В этой точке полное
приращение функции
,
откуда следует, что в её окрестности
принимает как положительные, так и
отрицательные значения. Экстремума
нет.
Определение 2. Точки, в которых частные производные равны нулю либо не существуют, называются критическими. Точки, в которых частные производные равны нулю, называются стационарными.
Замечание. Из определения градиента следует, что в стационарных точках градиент является нулевым вектором.
4.2. Достаточные условия экстремума
Теорема.
Если в некоторой окрестности стационарной
точки
функция
имеет непрерывные частные производные
до третьего порядка включительно, то
если:
1.
экстремум есть, при этом, если
,
а при
.
2.
экстремума нет.
3.
ответа нет, требуются дополнительные
исследования.
Здесь
;
;
.
Пример 3.
Исследовать на экстремум функцию
.
Из данной системы,
получаем
,
т.е. найдены две
стационарные точки:
.
В точке
,
.
В точке
экстремума нет.
Пример 4*. Канава для стока воды имеет в сечении равнобочную трапецию площадью S. Требуется определить размеры канавы, при которых были бы минимальные потери жидкости.
h
a
Если потери обозначить через Q, то они пропорциональны смоченному периметру сечения, т.е.
,
где
.
Три переменные
связаны зависимостью
.
Таким образом, мы определили функцию
,
которую необходимо исследовать на экстремум. Имеем
;
;
.
Используя достаточные условия экстремума, можно показать, что эти значения определяют точку минимума.
4.3. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции
в замкнутой области
Для нахождения наибольшего и наименьшего значений поступают, как и для случая функции одной переменной, а именно:
1. Определяют значения функции в критических точках, принадлежащих области;
2. Определяют наибольшие и наименьшие значения функции на границе области;
3. Из полученных значений выбирают наибольшее и наименьшее.
Пример
5. Найти
наибольшее и наименьшее значения функции
в области D
:
у
А
3
1 О 1 3 х
С В
Область D это треугольник АВС.
Определяем критические точки, принадлежащие области D
На границе
.
.
Вычисляем значения функции на концах отрезка АВ
.
На границе
.
.
Вычисляем значения функции на концах отрезка АС
.
На
границе
.
т.е. получили точку B.
Из полученных значений выбираем наибольшее и наименьшее:
Лекция № 36
4.4. Условный экстремум
Определение 1.
Условным экстремумом функции
называ-ется экстремум, достигнутый при
условии, что переменные х,
у
связаны уравнением
Геометрически
задача состоит в том, чтобы на этой линии
найти такую точку М0,
в которой значение функции
было наибольшим (наименьшим) по сравнению
с другими значениями на этой линии в
некоторой окрестности точки М0.
Такие точки называются точками условного
(относительного) экстремума.
Рассмотрим геометрический смысл этого понятия на примере.
Пример 1.
Графиком функции
является верхняя полу-сфера. Рассмотрим
прямую линию
z
O y
M0
x
Для точек этой
прямой, в силу симметрии, функция
достигает макси-мального значения в
точке
.
Это и есть точка условного макси-мума
на линии.
Теперь сформулируем
задачу, которую предстоит решить.
Требуется найти точки условного
экстремума функции
при условии
которое называется уравнением
связи.
По правилу
нахождения полной производной от функции
,
получим
(1)
В точках экстремума формула (1) принимает вид
(2)
Аналогично поступаем с уравнением связи
.
(3)
Умножим выражение
(3) на неопределённый множитель
,
сложим с выражением (2) и проведём
группировку членов
.
(4)
Подберём множитель
так, чтобы в выражении (4) выполнялось
.
Тогда получим, что в точках экстремума удовлетворяются три уравнения:
(5)
Из системы (5)
определяются х,
у
и множитель
.
Условиям (5) можно придать другую форму, если ввести так назы-ваемую функцию Лагранжа
,
тогда система (5) примет вид
(6)
Рассмотренный приём называется методом множителей Лагранжа. Системы (5) или (6) представляют собой необходимые условия условного экстремума.
Достаточные условия существования условного экстремума опреде-ляются по знаку определителя
.
(7)
Если в точке
,
то в этой точке условный максимум.
Если в точке
,
то
условный минимум.
Если
ответа нет, требуются дополнительные
исследования.
Метод множителей Лагранжа легко распространить для случая функции п переменных с т связями.
Пусть требуется
найти условный экстремум функции
при условиях
Для этого составляется функция Лагранжа
и приравниваются к нулю её частные производные
.
(8)
Из системы (8)
определяются
и вспомогательные мно-жители
.
Пример 2.
Найти условный экстремум функции
,
если уравнение связи
.
Составим функцию Лагранжа
.
Получим систему
Легко получить
решение данной системы:
.
Получили точку
.
Воспользуемся достаточными условиями
экстремума. Вычислим в этой точке
определитель (7)
т.е. М0
точка условного максимума,
.
4.5. Метод наименьших квадратов
Пусть в результате
опыта установлено, что значениям величины
х
равным
соответствуют значения величины у:
.
Требуется установить вид функции
,
которая наилучшим образом описала бы
полученную из опыта зависимость.
В функциональную
зависимость общего вида, которая
определяется из сути опыта, включим
параметры: а,
b,
с,
…,
которые подберём таким образом, чтобы
сумма квадратов разностей значений
экспериментально полученных и вычисленных
по формуле
была наимень-шей, т.е.
Необходимые условия:
дают систему для определения параметров а, b, с, … .
Рассмотрим случай,
когда аппроксимация (приближение)
эксперимен-тальных
данных
осуществляется
линейной
зависимостью
.
Тогда
и
т.е. система для определения коэффициентов а, b принимает вид
(9)
Если ввести обозначения:
то система (9) приводится к виду
(10)
Решая систему (10), получим
.
(11)
Пример 3. В результате опыта получены следующие результаты
x |
0 |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
y |
0,95 |
1,25 |
1,42 |
1,50 |
1,85 |
Определить зависимость величины y от x, считая её линейной.
Здесь
Тогда по формулам (11) получаем