Лекция № 26

1.8. Интегрирование рациональных дробей

На основании рассмотренной в предыдущей лекции теоремы преобра-зуется подынтегральная рациональная функция и нахождение интеграла сводится к интегрированию простейших дробей. Коэффициенты в числи-телях этих дробей вычисляются методом неопределённых коэффициентов.

Пример 1. .

Преобразуем подынтегральную функцию, представив её как сумму простейших дробей

.

Определим коэффициенты . Для этого приведём дроби в правой части равенства к общему знаменателя и приравняем числители дробей в правой и левой частей полученного равенства

.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х (метод неопределённых коэффициентов), приходим к системе

Упростим систему, учитывая, что ,

Из первых двух уравнений получаем , из первого и третьего и,.

Тогда наш интеграл приводится к нахождению интегралов

.

1.9. Интегрирование тригонометрических функций

1.9.1. Интегралы вида , гдеR  рациональная функция,

приводятся к интегралу от рациональной функции путём замены , которая называетсяуниверсальной тригонометрической подстановкой. Это достигается тем, что ивыражаются черезрационально:

(1)

Пример 2. (воспользуемся формулами (1)) =

.

Замечание. Использование такой подстановки часто приводит к громоздким выражениям. Эта подстановка, как правило, эффективна, если ивходят в дробное выражение в первой степени.

1.9.2. Интегралы вида с помощью подстановок:соответственно приводятся к интегралам от рациональной функции.

Пример 3.

.

1.9.3. Интегралы вида .

В этом случае применяется замена , так какивыражаются черезрационально:, или используются тригонометрические формулы понижения степени.

Пример 4.

.

1.9.4. Интегралы вида , где среди показателейт и п по крайней мере одно нечетное.

В этом случае за новую переменную принимается та функция, которая содержит чётную степень, либо любая, если все функции в нечётных степенях.

Пример 5.

.

1.9.5. Интегралы вида.

Эти интегралы находятся с использованием формул:

Пример 6.

.

Лекция № 27

1.10. Интегрирование некоторых иррациональных функций

Рассмотрим только некоторые частные случаи, когда интеграл от иррациональной функции выражается через элементарные функции.

1.10.1. Интегралы вида .

Если , то подстановка имеет види тогда. После чего интегрирование сводится к интегрированию рациональных дробей.

Пример 1.

Замечание 1. Если выражение под знаком радикала линейное, т.е. имеет вид , то из свойства4 следует, что мы вправе применить тот же подход.

Пример 2.

1.10.2. Интегралы вида .

Аналогично, если , то подстановкатакже приводит к интегрированию рациональных дробей.

Пример 3.

.

1.10.3*. Интегралы вида .

Преобразуем выражение под знаком радикала. Если за знак радикала вынести , то получим. Выполнив замену, приходим к трём случаям:

Рассмотрим каждый из этих случаев отдельно. Естественно, случай не рассматривается.

1. Интегралы вида .

Заменой такие интегралы приводятся к интегралам от рациональной функции.

Пример 3.

.

2. Интегралы вида

В этом случае используется замена .

Пример 4.

.

3. Интегралы вида .

Рационализация подынтегрального выражения достигается заменой .

Пример 5.