Лекция № 25

1.5. Интегрирование некоторых функций, содержащих квадратный трёхчлен

Рассмотрим интегралы вида . Они с помощью заменыприводятся к известным интегралам.

Пример 1.

.

Замечание 1. Если для первого из рассмотренных интегралов квадрат-ный трёхчлен имеет действительные корни, то более целесообразно преобразовать подынтегральную функцию, представив её как сумму алгебраических дробей со знаменателями–множителями в разложении квадратного трёхчлена. Более подробно об этом будет рассмотрено в следующей лекции.

Пример 2. Найти интеграл .

Преобразуем подынтегральную функцию:

.

Определим коэффициенты А и В, выполнив сложение дробей и приравняв числители дробей правой и левой частей равенства:

.

Приравнивая коэффициенты при х и свободные члены, получим

откуда .

Тогда имеем

1.6. Интегрирование по частям

Пусть u и v дифференцируемые функции. Тогда справедлива формула

. (1)

Проинтегрировав выражение (1), получаем формулу интегрирования по частям

. (2)

Формула (2) применяется при нахождении интегралов от функций вида:

и некоторых других.

Пример 3.

.

Пример 4. Найти интеграл . Воспользуемся формулой (2) дважды.

1.7. Многочлены и рациональные дроби

Вначале напомним некоторые положения из алгебры.

Рассмотрим многочлен п-ой степени с действительными коэффициентами. Если, тоназывается корнем многочлена. Согласно основной теоремы алгебры любой такой многочлен можно представить в виде

(3)

где действительные корни кратности, квадратичные множители в формуле (3) действительных корней не имеют и.

Пример 5. Представить в виде (3) многочлен .

Здесь и.

Определение 1. Рациональной функцией или дробью называется функция вида

. (4)

При этом будем считать, что (это всегда можно сделать путём деления числителя и знаменателя на) и. Такая рациональная дробь называется правильной рациональной дробью.

В противном случае, нужно выделить целую часть, разделив числитель на знаменатель, т.е. представить дробь в виде

,

где  многочлен степени , а многочлен степени меньше .

Пример 6. Выделить целую часть неправильной рациональной дроби

.

Выполним деление многочленов

Таким образом, дробь можно представить в виде

.

Определение 2. Рациональные дроби вида

1. ;2. 3. 4.

называются простейшими дробями.

Интегралы от дробей 1-2 являются табличными. Интеграл от дроби 3 был уже рассмотрен в пункте 1.5. Интеграл от последней дроби путём замены приводится к известному интегралу и интегралу вида, для вычисления которого с помощью формулы интегри-рования по частям можно получить рекуррентную формулу

.

Например, если , то имеем

.

Таким образом, нахождение интегралов от простейших дробей не представляет принципиальных трудностей.

В алгебре доказывается следующая теорема.

Теорема. Если в правильной рациональной дроби знаменатель можно представить разложением (3), то её можно разложить на сумму простейших дробей, т.е.

.

С использованием этой теоремы преобразуется подынтегральная рациональная функция и нахождение интеграла приводится к интегрированию простейших дробей. Коэффициенты в числителях этих дробей вычисляются методом неопределённых коэффициентов.

Пример 7. Для выражения, полученного в примере 6, имеем

.

Коэффициенты определим методом неопределённых коэф-фициентов. Выполним сложение дробей и приравняем числители правильной дроби в левой части и результата сложения дробей (числителя) в правой части

.

Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему линейных уравнений

из которой следует . Окончательно получим

.