С о д е р ж а н и е

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Лекция № 1. Тема : Определители . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Определители второго и третьего порядков . . . . . . . . . . 4

Основные свойства определителей . . . . . . . . . . . . . . 5

Вычисление определителей . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Лекция № 2. Тема : Системы линейных алгебраических уравнений . . 8

Правило Крамера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Метод Гаусса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Лекция № 3. Тема : Матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Основные виды матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Действия над матрицами . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Обратная матрица . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Решение систем линейных уравнений

с помощью обратной матрицы . . . . . . . . . . . . 16

Лекция № 4. Тема : Векторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Определение вектора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Линейные операции над векторами . . . . . . . . . . . . . 18

Декартова система координат . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Лекция № 4. Тема : Векторы (окончание) . . . . . . . . . . . . . 23

Способы задания векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Тема : Скалярное произведение . . . . . . . . . . . . 24

Скалярное произведение двух векторов

и его основные свойства . . . . . . . . . . . . . . 24

Скалярное произведение векторов,

заданных координатами . . . . . . . . . . . . . . . 25

Длина вектора. Угол между двумя векторами.

Направляющие косинусы . . . . . . . . . . . . . . . 25

Лекция № 6. Тема : Векторное произведение . . . . . . . . . . . 27

Векторное произведение двух векторов

и его основные свойства . . . . . . . . . . . . . . 27

Векторное произведение векторов,

заданных координатами . . . . . . . . . . . . . . . 27

Механический смысл векторного произведения . . . . . . . . 28

Тема : Смешанное произведение . . . . . . . . . . . 29

Смешанное произведение двух векторов

и его основные свойства . . . . . . . . . . . . . . . 29

Смешанное произведение векторов,

заданных координатами . . . . . . . . . . . . . . . 30

Лекция № 7. Тема : Линии на плоскости и их уравнения . . . . . . 32

Линии и их уравнения в декартовой системе координат . . . . 32

Параметрические уравнения линии . . . . . . . . . . . . . 32

Уравнение линии в полярной системе координат . . . . . . . 33

Преобразование системы координат.

Уравнение линии в новой системе координат . . . . . . 34

Лекция № 8. Тема : Прямая линия на плоскости . . . . . . . . . . 36

Уравнения прямой линии . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Угол между двумя прямыми . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Взаимное расположение двух прямых . . . . . . . . . . . . 38

Уравнение прямой, проходящей через две точки . . . . . . . 38

Уравнение прямой, проходящей через точку

с заданным угловым коэффициентом . . . . . . . . . 39

Расстояние от точки до прямой . . . . . . . . . . . . . . . 39

Лекция № 9. Тема : Линии второго порядка . . . . . . . . . . . . 40

Эллипс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Гипербола . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Парабола . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Классификация линий второго порядка . . . . . . . . . . . . 44

Лекция № 10. Тема : Плоскость . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Уравнение плоскости. Построение плоскости . . . . . . . . . 45

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку,

перпендикулярно заданному вектору . . . . . . . . . . 45

Уравнение плоскости, проходящей через

три заданные точки . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Угол между двумя плоскостями . . . . . . . . . . . . . . . 46

Расстояние от точки до плоскости . . . . . . . . . . . . . 47

Тема : Прямая в пространстве . . . . . . . . . . . . . 48

Уравнение прямой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Лекция № 11. Тема : Прямая в пространстве (окончание) . . . . . . 49

Уравнение прямой, проходящей через две точки . . . . . . . 49

Угол между двумя прямыми . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Расстояние от точки до прямой . . . . . . . . . . . . . . . 50

Угол между прямой и плоскостью . . . . . . . . . . . . . . 51

Пересечение прямой с плоскостью . . . . . . . . . . . . . . 51

Лекция № 12. Тема : Поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Уравнение поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Поверхности второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Лекция № 13. Тема : Функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Определение функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Способы задания функции . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Элементарные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Лекция № 14. Тема : Пределы . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Предел последовательности и переменной величины . . . . . 62

Предел функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Лекция № 15. Тема : Пределы (продолжение) . . . . . . . . . . . 65

Бесконечно малые и бесконечно большие величины . . . . . 65

Теорема о пределе функции . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Основные теоремы о пределах . . . . . . . . . . . . . . . 67

Раскрытие неопределенностей . . . . . . . . . . . . . . . 68

Лекция № 16. Тема : Пределы (окончание) . . . . . . . . . . . . 69

Первый стандартный предел . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Число е . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Второй стандартный предел . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Сравнение б.м.в. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Лекция № 17. Тема : Непрерывность . . . . . . . . . . . . . . . 73

Определение непрерывной функции . . . . . . . . . . . . . 73

Основные теоремы о непрерывных функциях

Непрерывность элементарных функций . . . . . . . . 74

Классификация точек разрыва функции . . . . . . . . . . . 74

Свойства функций, непрерывных на отрезке . . . . . . . . . 75

Лекция № 18. Тема : Производная и дифференциал . . . . . . . . 77

Производная функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Производные основных элементарных функций . . . . . . . . 78

Механический смысл производной . . . . . . . . . . . . . 79

Геометрический смысл производной . . . . . . . . . . . . . 79

Правила дифференцирования . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Производная сложной функции . . . . . . . . . . . . . . . 81

Лекция № 19. Тема : Производная и дифференциал (окончание) . . . 82

Производная обратной функции . . . . . . . . . . . . . . 82

Производная функции, заданной параметрическими

уравнениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Производная функции, заданной неявно . . . . . . . . . . . 83

Производная степенно-показательной функции . . . . . . . . 83

Производные высших порядков . . . . . . . . . . . . . . 84

Дифференциал функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Лекция № 20. Тема : Основные теоремы о дифференцируемых

функциях . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

Теорема Ролля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

Теорема Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

Правило Лопиталя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

Формула Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Лекция № 21. Тема : Исследование функции . . . . . . . . . . . . 91

Возрастание и убывание функций . . . . . . . . . . . . . 91

Экстремум функции. Необходимые условия экстремума . . . . 91

Достаточные условия экстремума . . . . . . . . . . . . . . 92

Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке . . . 94

Лекция № 22. Тема : Исследование функции (продолжение) . . . . . 95

Выпуклость, вогнутость, точки перегиба . . . . . . . . . . . 95

Асимптоты линий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

Общий план исследования функции и

построение графиков . . . . . . . . . . . . . . . . 97

Лекция № 23. Тема : Исследование функции (окончание) . . . . . . 99

Исследование функции (пример) . . . . . . . . . . . . . . 99

Кривизна кривой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Лекция № 24. Тема : Неопределенный интеграл . . . . . . . . . . 103

Первообразная и неопределенный интеграл . . . . . . . . . 103

Основные свойства неопределённого интеграла . . . . . . . . 104

Таблица неопределённых интегралов . . . . . . . . . . . . 104

Интегрирование методом замены переменной

(способ подстановки) . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Лекция № 26. Тема : Неопределенный интеграл (продолжение) . . . 107

Интегрирование некоторых функций,

содержащих квадратный трёхчлен . . . . . . . . . . . 107

Интегрирование по частям . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

Многочлены и рациональные дроби . . . . . . . . . . . . . 109

Лекция № 26. Тема : Неопределенный интеграл (продолжение) . . . 111

Интегрирование рациональных дробей . . . . . . . . . . . . 111

Интегрирование тригонометрических функций . . . . . . . . 112

Лекция № 27. Тема : Неопределенный интеграл (окончание) . . . . 114

Интегрирование некоторых иррациональных функций . . . . . 114

Понятие о неберущихся интегралах . . . . . . . . . . . . . 117

Лекция № 28. Тема : Определенный интеграл . . . . . . . . . . . 118

Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла . . . 118

Определение определённого интеграла . . . . . . . . . . . . 119

Основные свойства определённого интеграла . . . . . . . . . 120

Интеграл как функция верхнего предела . . . . . . . . . . . 122

Лекция № 29. Тема : Определенный интеграл (окончание) . . . . . . 122

Формула Ньютона – Лейбница . . . . . . . . . . . . . . . . 122

Замена переменной в определённом интеграле . . . . . . . . 123

Интегрирование по частям в определённом интеграле . . . . . 125

Лекция № 30. Тема : Приложения определенного интеграла . . . . . 126

Площадь плоской фигуры . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

Длина дуги плоской кривой . . . . . . . . . . . . . . . . 128

Площадь поверхности тела вращения . . . . . . . . . . . . 129

Вычисление объёма тела по площадям поперечных сечений . . 130

Лекция № 31. Тема : Приложения определенного интеграла

(окончание) . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

Приложения определённого интеграла к некоторым

задачам физики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

Тема : Несобственные интегралы . . . . . . . . . . 132

Несобственные интегралы первого рода

(с бесконечными пределами) . . . . . . . . . . . . . 132

Несобственные интегралы второго рода

(от разрывных функций) . . . . . . . . . . . . . . 134

Лекция № 32. Тема : Функции нескольких переменных. Предел.

Непрерывность. Частные производные . . . . 136

Определение функции нескольких переменных . . . . . . . . 136

Предел и непрерывность функции двух переменных . . . . . 137

Частные производные функции двух переменных . . . . . . . 138

Полный дифференциал функции двух переменных . . . . . . 139

Производная сложной функции . . . . . . . . . . . . . . . 140

Лекция № 33. Тема : Частные производные.

Производная по направлению. Градиент . . . . 141

Полная производная . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

Частные производные функции, заданной неявно . . . . . . . 141

Частные производные высших порядков . . . . . . . . . . . 141

Производная по направлению . . . . . . . . . . . . . . . . 142

Градиент . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

Лекция № 34. Тема : Частные производные. Производная по

направлению. Градиент (окончание) . . . . . . 145

Касательная и нормаль к поверхности . . . . . . . . . . . . 145

Тема : Векторная функция скалярного аргумента . . . 146

Векторная функция. Предел. Непрерывность . . . . . . . . . 146

Производная векторной функции . . . . . . . . . . . . . . 147

Лекция № 35. Тема : Экстремум функции нескольких переменных . . 149

Необходимые условия экстремума . . . . . . . . . . . . . . 149

Достаточные условия экстремума . . . . . . . . . . . . . . 150

Нахождение наибольшего и наименьшего значений

функции в замкнутой области . . . . . . . . 151

Лекция № 36. Тема : Экстремум функции нескольких переменных

(окончание) . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

Условный экстремум . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

Метод наименьших квадратов . . . . . . . . . . . . . . . 156

Лекция № 37. Тема : Дифференциальные уравнения. Введение . . . 158

Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям . . . . 158

Определение дифференциального уравнения. . . . . . . . . . 158

Тема : Дифференциальные уравнения первого порядка . 159

Общие понятия. Теорема существования и единственности . . . 159

Уравнения с разделяющимися переменными . . . . . . . . . 160

Лекция № 38. Тема : Дифференциальные уравнения первого порядка

(окончание) . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

Однородные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

Линейные уравнения первого порядка . . . . . . . . . . . . 164

Уравнения Бернулли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

Уравнения в полных дифференциалах . . . . . . . . . . . . 165

Лекция № 39. Тема : Дифференциальные уравнения высших порядков . 167

Определение ДУ п-го порядка . . . . . . . . . . . . . . . 167

Уравнения, допускающие понижение порядка. . . . . . . . . 168

Тема : Линейные дифференциальные уравнения

второго порядка . . . . . . . . . . . . . . 169

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго

порядка (ЛОДУ-2). Определитель Вронского

и его свойства . . . . . . . . . . . . . . . 169

Теорема о структуре общего решения ЛОДУ-2 . . . . . . . . 171

Лекция № 40. Тема : Дифференциальные уравнения второго порядка

(продолжение). . . . . . . . . . . . . . . . 172

ЛОДУ-2 с постоянными коэффициентами. . . . . . . . . . . 172

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения

второго порядка . . . . . . . . . . . . . . 173

Метод вариаций произвольных постоянных . . . . . . . . . 175

Лекция № 41. Тема : Дифференциальные уравнения второго порядка

(окончание) . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

ЛНДУ-2 с постоянными коэффициентами

со специальной правой частью . . . . . . . . 176

Лекция № 42. Тема : Линейные дифференциальные уравнения

высших порядков . . . . . . . . . . . . . 180

Линейные ДУ п-го порядка . . . . . . . . . . . . . . . . 180

Понятие о краевой задаче . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

Лекция № 43. Тема : Системы дифференциальных уравнений . . . . 184

Нормальные системы дифференциальных уравнений . . . . . 184

Решение нормальных систем ДУ методом исключений . . . . 186

Лекция № 44. Тема : Числовой ряд.

Необходимый признак сходимости . . . . . . 189

Числовой ряд и его сумма . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

Необходимый признак сходимости. Гармонический ряд . . . . 191

Тема : Достаточные признаки сходимости рядов

с положительными членами . . . . . . . . . 192

Признаки сравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

Лекция № 45. Тема : Достаточные признаки сходимости рядов

с положительными членами (окончание) . . . . 193

Признак Даламбера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

Радикальный признак Коши . . . . . . . . . . . . . . . . 194

Интегральный признак Коши . . . . . . . . . . . . . . . . 195

Тема : Знакопеременные ряды . . . . . . . . . . . . 196

Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница . . . . . . . . . 196

Абсолютная и условная сходимость . . . . . . . . . . . . . 197

Л и т е р а т у р а . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198