Лекция № 45

2.2. Признак Даламбера

Теорема 1. Пусть для ряда с положительными членами сущест-вует конечный или бесконечный предел, тогда:

1. Если  ряд сходится;

2. Если  ряд расходится;

3. Если  ответа на вопрос о сходимости теорема не даёт. В этом случае требуются дополнительные исследования.

Вначале докажем пункт 1. Из определения предела следует: выполняетсяили. Если , то можно указать такое, для которого выполняетсяи тогда. Таким образом, выполняются равенства:

. (1)

Из формул (1) следует, что ряд сходится. Тогда по признаку сравнения сходится и ряд.

Аналогично доказывается и случай 2. Здесь имеем , и выполняется неравенство, т.е. нарушается необходимый признак сходимости, следовательно, ряд расходится.

Пример 1. Исследовать сходимость ряда .

Вычислим предел

Пример 2. Исследовать сходимость ряда .

Вычислим предел

т.е. ряд расходится.

2.3. Радикальный признак Коши

Аналогично можно доказать следующую теорему.

Теорема 2. Пусть для ряда с положительными членами сущест-вует конечный или бесконечный предел, тогда:

1. Если  ряд сходится;

2. Если  ряд расходится;

3. Если  ответа на вопрос о сходимости теорема не даёт. В этом случае требуются дополнительные исследования.

Пример 3. Исследовать сходимость ряда .

Вычислим предел

Пример 4. Исследовать сходимость ряда .

Вычислим предел

2.4. Интегральный признак Коши

Пусть дан ряд с положительными членами .

Заменим в общем члене ряда натуральную переменнуюп вещественной переменной х. Получим функцию , для которой. Исходя из геометрического смысла определённого интеграла, можно доказать следующую теорему.

Теорема 3. Если функция непрерывная и невозрастающая на, тогда:

1. Если интеграл сходится, т.е., то ряд сходится;

2. Если интеграл расходится, то ряд расходится.

Пример 5. Исследовать на сходимость ряд .

Рассмотрим функцию. Для нее имеем

Таким образом, обобщённый гармонический ряд сходится, если и расходится, если. Легко убедиться,что признак Даламбера не даёт ответа на вопрос о сходимости этого ряда.

Тема 3 : Знакопеременные ряды

3.1. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница

Определение 1. Ряд называется знакопеременным, если среди его членов имеется бесконечное число как положительных, так и отрицательных членов.

Определение 2. Знакопеременный ряд, члены которого имеют чере-дующиеся знаки, называется знакочередующимся рядом.

Такой ряд имеет вид , где все.

Теорема Лейбница. Если в знакочередующемся ряде члены ряда удовлетворяют условиям:

1. ;

2. ,

то ряд сходится, и его сумма не превосходит первого члена.

Рассмотрим чётные частичные суммы такого ряда

.

Все члены в скобках положительные, следовательно, ис ростомт.

Теперь запишем эту сумму так .

Тогда , т.е. сумма ограничена сверху и при этом. Тогда по свойству предела она имеет предел, причем.

Покажем теперь, что и . Так как, то переходя к пределу в этом равенстве получим

, ч.т.д.

Замечание 1. Ошибка, совершаемая при замене S на не превосходит по абсолютной величине первого из отброшенных членов, т.е., так как отброшенные члены также образуют знакочередующийся ряд.

Пример 6. Ряд сходится, так как удовлетворяет усло-виям теоремы Лейбница. При этом приближённое вычисление его суммы будет вычисляться с точностью.

Пример 7. Исследовать сходимость ряда .

Замечаем, что и тогда по теореме Лейбница

1. ; 2., т.е. ряд сходится.