6.2. Решение нормальных систем ду методом исключений

Решение системы (2) сводится к решению ДУ-п методом исключений.

Продифференцируем по х первое уравнение системы (2)

.

С учетом остальных уравнений системы это выражение примет вид

или .

Аналогично, ещё раз продифференцировав, получаем

и т. д., пока не найдём п-ю производную

Таким образом, получаем систему п уравнений

(4)

Из первых п  1 уравнений системы (4) выразим через переменные . Подставляя их значения в последнее урав-нение системы (4), имеем

. (5)

Решая уравнение (5), находим , а с помощью выражений для определяем и эти функции.

Замечание 1. Из приведённых выше рассуждений видна структура общего решения системы ДУ (2).

Замечание 2. Часто систему уравнений можно сразу сводить к уравнению (5), минуя систему (4). В частности, это относится к линейным системам ДУ.

Пример 2. Найти общее решение системы

Из первого уравнения найдем

и подставим во второе уравнение

.

Умножим на 3 и приведём подобные члены

.

Составим характеристическое уравнение

.

Имеем

.

Тогда, с учетом выражения для z, получаем

.

Пример 3. Решить задачу Коши

Из первого уравнения находим

и подставляем во второе уравнение

Составим характеристическое уравнение

.

Тогда

и

Из начальных условий получаем систему для нахождения и

Окончательно имеем

.