- •Лекция № 41
- •4.6. Лнду-2 с постоянными коэффициентами со специальной правой частью
- •Лекция № 42. Тема 5 : Линейные ду высших порядков
- •5.1. Линейные ду п-го порядка
- •5.2*. Понятие о краевой задаче
- •Лекция № 43. Тема 6 : Системы дифференциальных уравнений
- •6.1. Нормальные системы дифференциальных уравнений
- •6.2. Решение нормальных систем ду методом исключений
Лекция № 43. Тема 6 : Системы дифференциальных уравнений
6.1. Нормальные системы дифференциальных уравнений
К решению систем дифференциальных уравнений приводят задачи по изучению колебательных процессов в технике, физике, механике. Вибрации сооружений, электромагнитные колебания, колебания упругих тел все эти процессы описываются системами дифференциальных уравнений.
В качестве примера рассмотрим движение материальной точки массой т в плоскости Оху. Согласно второму закону Ньютона имеем
.
Спроектируем векторное равенство на координатные оси
(1)
Получена система дифференциальных уравнений относительно двух неизвестных функций , которые определяют положение точки на плоскости. Здесь t время,
проекции скорости,
проекции ускорения на координатные оси.
Будем рассматривать системы дифференциальных уравнений, каждое уравнение которой разрешено относительно старшей производной – канонические системы. Такую систему, путём введения дополнительных функций, всегда можно привести к эквивалентной ей системе дифференциальных уравнений первой порядка (ДУ-1), разрешенных относительно производной.
Например, приведём систему (1) к системе ДУ-1.
Введём функции . Тогда она примет вид
Поэтому в дальнейшем будем рассматривать только такие системы.
Определение 1. Нормальной системой дифференциальных уравнений называется система дифференциальных уравнений вида
(2)
где - искомые функции, а заданные функции в некоторой области G переменных .
Определение 2. Решением системы (2) называется совокупность п дифференцируемых функций: , которые при подстановке в систему ДУ, обращают каждое уравнение в тождество.
Определение 3. Совокупность функций называется общим решением системы ДУ (2), если:
1. Эти функции являются решением системы при любых значениях ;
2. Для любых начальных условий вида
(3)
из области G можно найти такие значения , при которых каждая функция этой совокупности удовлетворяет условиям (3).
Задача Коши для системы (2) формулируется следующим образом: Найти такое решение , которое удовлетворяет начальным условиям (3).
Теорема (о существовании и единственности решения задачи Коши).
Если правые части системы ДУ (2) и их частные производные по переменным непрерывны в области G, то для любой точки существует единственное непрерывное решение задачи Коши, удовлетворяющее начальным условиям (3).
Пример 1*. Определить траекторию полёта снаряда, выпущенного из орудия под углом к горизонту со скоростью V0. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Вначале лекции были рассмотрены общие уравнения (1), которые можно применить для данной задачи
где g ускорение свободного падения. Проинтегрируем каждое уравне-ние системы
Константы интегрирования и найдем из начальных условий:
.
Тогда система примет вид
Ещё раз проинтегрируем
Константы интегрирования и определим из начальных условий с учетом выбора начала системы координат в положении орудия:
.
Таким образом, решением системы являются функции
Исключая параметр t, приходим к уравнению траектории