V Интегралы вида

Для гиперболических функций имеются разнообразные формулы, аналогичные формулам тригонометрии. Приведем некоторые из них:

1) основное тождество – ;

2) формулы двойных углов – ;;

3) формулы понижения степени – ,.

Пользуясь этими формулами нетрудно рационализировать любой интеграл вида . Однако, на практике иногда проще выразить гиперболические функции через показательную функцию

и рационализировать интеграл подстановкой :

Примеры.

10.

.

11. .

§8. Интегрирование некоторых иррациональных выражений

I Линейные и дробно-линейные иррациональности

Пусть – линейная или дробно-линейная функция. Интеграл видарационализируется подстановкой, где , так что числа – целые. Например, если, то,и, где– некоторая ра-циональная функция.

Аналогично нетрудно показать (рекомендуем сделать это! ), что если , тоии интегралснова рационализируется.

Пример 1.

.

II Квадратичные иррациональности: частный случай

В этой части параграфа рассмотрим интегралы вида и. В этих интегралах удается избавиться от иррациональности с помощью тригонометрических или гиперболических подстановок, после чего рационализировать интеграл подстановками, рассмотренными в предыдущем параграфе.

II.1

.

С тем же успехом можно взять и ,.

II.2

a)

;

b)

.

II.3

a)

;

b)

.

Относительно интеграла необходимо сделать следующее замечание. Область определения радикаласостоит из 2-х частей:. Рассмотренные выше замены справедливы лишь для. Длятригонометрическая замена та же, нои, а гиперболическая замена имеет вид. В случае четной или нечетной подынтегральной функции можно пользоваться соответствующими свойствами первообразных (см. §1) и не рассматривать отдельно случай.

Примеры.

3.

Если учесть, что , то ответ можно упростить

.

4. . Здесь тригонометрическая замена приведет к сложно-му интегралу, поэтому лучше применить гиперболическую подстановку:,,. Имеем

.

Здесь на последнем шаге использована формула для и выражениечерез логарифм.

5. .

Для сделаем замену,, тогда,,и получим

.

Подынтегральная функция – четная, а полученная первообразная нечетная, значит результат справедлив и для .

III Квадратичные иррациональности: общий случай,

подстановки Эйлера

Интеграл вида выделением полного квадрата в подкоренном выражении и соответствующей заменой переменной можно свести к одному из интегралов, рассмотренных ранее.

Однако, существуют и прямые способы рационализации интеграла – это так называемые подстановки Эйлера. Новая переменная интегрирования вводится такими соотношениями:

1) если , то;

2) если , то;

3) если , то, где– один из корней квадратного трехчлена.

Возводя эти соотношения в квадрат и упрощая, можно убедиться в том, что , и радикал выражается через рациональным образом. Следовательно, данный интеграл рационализируется.

Предлагается студентам самостоятельно произвести все необходимые преобразования и применить эти подстановки к вычислению интегралов:

, ,.