§3. Основные правила интегрирования

I. .

II. .

III. Если , то.

Неопределенный интеграл – это множество функций и равенства I и II надо понимать как совпадение множеств. Например, равенство I означает следующее: чтобы получить элементы множества , надо каждый элемент множества умножить на число .Правило III можно доказать так: . Тогда

,

т.е. .

Отметим, что правило III “работает” только тогда, когда вместо переменной интегрирования фигурирует линейная функция :

,

но . Для этого интегралаправильный ответ имеет вид: .

Замечание. Правило III есть весьма частный случай замены переменной (см. следующий параграф).

§4. Основные методы интегрирования

I Непосредственное интегрирование

Так принято называть вычисление интегралов с помощью таблицы основных интегралов, правил интегрирования и тождественных преобразований подынтегральной функции.

Примеры.

1.

.

2.

.

Можно предложить и другой способ:

.

Ответы по форме различны, но формулы тригонометрии позволяют доказать их тождественность.

3. .

4.Частный случай формулы 14 из §2:

.

5.Один полезный прием:

.

II Метод замены переменной

Существуют две реализации этого метода: 1) в качестве новой переменной интегрирования рассматриваем некоторую функцию , которая фигурирует в подынтегральном выражении; 2) переменную интегрированиязаменяем специально подобранной функцией.

II.1 Подведение под знак дифференциала

Теорема 1. Пусть известно, что . Тогда, если функция– непрерывно-дифференцируема, то

. (1)

Доказательство. Первое условие теоремы означает, что .

Применяя правило дифференцирования сложной функции, получим

,

что и доказывает (1).

Чтобы воспользоваться этой теоремой на практике, необходимо вычленить в подынтегральной функции производную некоторой функции, объединить эту производную с дифференциалом переменной интегрирования и сделать замену. После вычисления интеграла вернуться к исходной переменной интегрирования.

Примеры.

6.

.

Замечание 1. Замену такого типа можно производить и без подведения под знак дифференциала.

7.

.

8.

.

Сразу отметим здесь, что такой простой заменой не всегда удается избавить-

ся от иррациональности (попробуйте сами, заменив в числителе на).

Замечание 2. Приведем две формулы, которые часто встречаются и их

лучше запомнить как табличные:

,

.

II.2 Метод подстановки

Теорема 2. Пусть требуется вычислить интеграл и пусть– непрерывно-дифференцируемая функция, имеющая обратную. Тогда, если

, (2)

то

. (3)

Доказательство. Равенство (2) означает, что . Тогда

.

Сравнение начала и конца этой цепочки равенств и доказывает равенство (3).

Пример.

9.

=

.

Ответ можно упростить, если учесть формулу синуса двойного угла:

.

III Интегрирование по частям

Теорема 3. Если и– непрерывно-дифференци-руемые функции, то справедлива формула

. (4)

Доказательство вытекает из правила дифференцирования произведения: . Проинтегрируем обе части этого равенства и учтем одно из свойств неопределенного интеграла:

,

,

отсюда и следует формула интегрирования по частям (3).

При практическом применении этого метода подынтегральное выражение надо разбить в произведение таким образом, чтобы функциявычислялась просто, а интеграл в правой части (4) был бы проще исходного.

Примеры.

10.

.

.

Замечание 3. Если при вычислении интеграла взять другую первообразную, например, получим тот же результат:

.

Замечание 4. Область применения этого метода в основном исчерпывается интегралами вида , где– многочлен, а– это: 1) показательные, тригонометрическиеи гипербо-лические функции; 2) логарифмические и обратные тригонометрические функции. При этом в качествев случае 1) берем многочлен, а в случае 2)– логарифмы и аркфункции. Отметим, что в случае 2) «многочлен» может содержать степени переменной с ненатуральными показателями.

Примеры.

12.

.

13.

.

Мы пришли к уравнению , из которого

получаем

.

14.Для интеграла путем двукратного интегриро-

вания по частям можно получить уравнение

,

из которого находим

.

Аналогичным образом можно найти интегралы

, , .