Языки системного проектирвания / Лекции и лабы / l3

Тема 3. Математическая модель

1. Математическая модель, общие понятия.

Математические модели представляют собой идеальные, т.е. упрощенные знаковые или абстрактные образы систем.

Упрощения, которым подвергается представления о системе, определяются целями исследования системы.

Принятые упрощения определяют вид модели, т.е. возможность применения той или иной математической теории.

Модель должна обеспечить возможность применения ее на практике. Для этого модель должна отвечать трем требованиям:

- содержательная истинность;

- формальная правильность или доказуемость;

- адекватность реальной системе.

Возможны различные цели исследования моделей, иначе называемые функциями моделей.

Это такие функции:

- получение оценок состояния и механизмов функционирования систем;

- объяснение теоретически выдвинутых или экспериментально полученных данных;

- оценка правильности представления о системе;

- прогноз возможных состояний системы;

- компактное и наглядное описание системы в целом;

- объект формальной теории, решающей вопросы о границах истинности моделей;

- оптимизация системы.

С точки зрения системного подхода и методик построения и использования моделей возможны пять типов моделей. Это такие типы:

- аксиоматические;

- эмпирико-статиcтические;

- оптимизационные;

- имитационные;

- знаний.

Рассмотрим подробнее перечисленные характеристики математических моделей.

2. Содержательная истинность и формальная правильность моделей.

Содержательная истинность модели и ее формальная правильность или доказуемость достигается правильным порядком построения моделей.

Порядок построения модели включает этапы формирования таких описаний:

- вербальные;

- дескриптивные;

- конструктивные.

В качестве исходных данных обычно рассматриваются словесные, т.е. вербальные, описания систем.

На основе вербальных описаний строятся дескриптивные определения модели – т.е. формальные, но упрощенные первоначальные образы моделей.

Далее строятся конструктивные описания, т.е. формально правильные тексты описания моделей на языке соответствующей математической теории, т.е. собственно математическая модель.

Рассмотрим упомянутые описания более детально.

Вербальные описания должны содержать информацию:

- о сущности и свойствах системы как единого целого;

- о составе, свойствах частей и их функциях;

- о структуре и ее роли в формировании свойств системы, как единого целого;

- о взаимосвязи и функциях подсистем;

- о возможных изменениях в составе и функциях системы;

- об экспериментальных данных, характеризующих структуру и поведение системы.

Фактически это - полноценный текст, содержательно описывающий модель объекта.

Дескриптивные описания по существу представляют собой акт формального обособления моделей от содержательного истолкования системы в вербальной модели. Требования к дескриптивной модели: ----

- точность передачи сведений из вербальной модели;

- определение направления теоретического анализа системы.

Фактически это формальная постановка задачи, т.е.:

- список формальных идентификаторов, введенных нами для тех или иных понятий, имеющихся в вербальной модели;

- указание их роли (входы, выходы), области определения значений;

- "плюс" - задачи исследования модели в целом.

Конструктивное описание формируется на основе анализа дескриптивного описания путем оценки возможности применения той или иной математической теории. Оценка теорий выполняется с таких точек зрения:

- возможность преобразования содержательных описаний в математические модели, формально правильные в пределах данной теории;

- возможность достижения необходимых целей исследования моделей, т.е. наличия соответствующих функций у моделей в данной форме представления.

Фактически построить конструктивное описание значит – построить готовую формальную модель.

3. Адекватность модели

Адекватность модели реальной системе определяется уровнями достоверности модели.

Табл.1 Уровни достоверности модели:

Тип модели	Характеристика модели
КАЛИБРОВАНАЯ (проверенная модель)	Параметры моделей установлены в соответствии с имеющимися эксперименталь-ными данными о реальной системе.
ОБОСНОВАННАЯ (верифицированная модель)	Поведение калиброванной модели схоже с поведением реальной системы на уровне ее входов-выходов.
РЕАЛИСТИЧНАЯ (валидная модель)	Поведение обоснованной модели схоже с поведением реальной системы на уровне ее элементов, внутренних связей, отдельных подпроцессов.

Уровень адекватности конструктивной модели должен быть предельно высоким, исходя из возможностей привлеченной математической теории.