Функцией алгебры логики

ФАЛ называется функция, дающая однозначное отображение Х в Y.

Число различных ФАЛ, зависящих от n аргументов, конечно и равно .

x1, x2, …, xn-1, xn	f (x1, x2, …, xn-1, xn)
0 0 … 0 0	α1
0 0 … 0 1	α2
… … … … …	… … …… … … …
1 1 … 1 0
1 1 … 1 1

Формы задания Булевой функции:

1. Аналитическая (в виде логического выражения)

2. Табличная (в виде таблицы истинности)

3. Геометрическая

4. Таблично-графическая (в виде карты Карно)

5. Числовая

6. Символическая форма

1) Аналитическая:

2) Табличная:

x1	x2	x3		y
0	0	0	1	1
0	0	1	1	0
0	1	0	1	1
0	1	1	1	0
1	0	0	0	0
1	0	1	0	0
1	1	0	1	1
1	1	1	1	0

Если наборам значений аргументов ФАЛ сопоставляет точки n- мерного пространства, то множество наборов определяет множество вершин n- мерного единичного куба. Таким образом, областью определения ФАЛ, зависящей от n аргументов, является множество вершин такого куба.

Пример.

ФАЛ f(x₁, x_2, x₃) может быть задана геометрически .

f(101, 110, 010, 011)=1

Или на картах Карно или на картах Вейча

Значения ФАЛ могут быть заданы не на всех возможных наборах аргументов. На некоторых значения функции могут быть не определены. Такие функции называют не полностью определенными.

Элементарные функции алгебры логики

Рассмотрим множество элементарных ФАЛ. Начнем со случая, когда длина слова n=0. По формуле, определяющей число функций логики, вычисляем, что при n=0 = 2.

f₁=0; f₂=1.

Эти две функции совпадают с константами.

В случае n=1 мы имеем две функции, существенно зависящие от аргумента x, эти две функции определяются таблицей

x1	f 3	f 4
0	0	1
1	1	0

Эти две функции также относят к элементарным, и они записываются следующим образом

f ₃=x;f ₄=(читается «неx»).

Функцию f ₄ называют функцией отрицания.

В случае n=2 имеем десять различных функций, существенно зависящих отаргументовx₁ иx₂.

		x1 x2	x1& x2	x1 ~ x2	x1x2	x1  x2	x1/x2	x1x2
x 1	x 2	f 5	f 6	f 7	f 8	f 9	f 10	f 11
0	0	0	0	1	1	1	1	1
0	1	1	0	0	1	0	1	0
1	0	1	0	0	0	0	1	1
1	1	1	1	1	1	0	0	0

Функция f₅(x_1,x₂) =x_1x₂(дизъюнкция).

Функция f₆(x_1,x₂) =x₁&x₂(конъюнкция).

Вместо символов & часто применяют символ умножения «•» или вообще опускают также, как и в обычной алгебре.

Функция f₇носит название функции эквивалентности или функции равнозначности

f₇(x_1,x₂) = x1~x2

иf₇(x_1,x₂) =x₁x₂.

Функция f₈носит название импликацииx₁вx₂. Она обозначаетсяf₈(x_1,x₂) =x₁x₂.

Функция f₉ носит название функции Вебба (или ее называют еще стрелкой Пирса) и обозначается

f ₉(x_1,x₂) = x₁vx₂.

Функция f₉называется функцией (штрихом) Шеффера и обозначается следующим образомf ₁₀(x_1,x₂) =x₁ x₂.

Функция f ₁₁обычно называется функцией сложения по модулю2.

f ₁₁(x_1,x₂) = x₁x₂.

Рассмотрение одиннадцати функций позволяют строить новые функции двумя основными способами:

1. путем перенумерации аргументов;

2. путем подстановки в функцию новых функций вместо аргументов.

Функцию, полученную из функций f ₁, f ₂, f ₃, …, f _k путем применения этих правил будем называть суперпозицией функцииf ₁, f ₂, f ₃, …, f _k.

Имея, например, элементарные функции отрицания, дизъюнкции, эквивалентности и импликации, можно составить следующие новые функции ФАЛ.

Используя таблицы, определяющие элементарные функции, можно задать любую функцию ФАЛ, являющуюся суперпозицией этих функций.

Пример. Пусть требуется представить в виде таблицы следующую функцию

f (x₁,x₂,x₃)={[(~x₂) (x₁  x₂)] (x₁ x₂)}x₃.

Будем строить ФАЛ последовательно.

x1	x2	x3		~x2	x1x2	[ ]	x1x2	{ }	f (x1,x2,x3)
0	0	1	1	0	1	1	0	0	1
0	0	0	1	1	1	1	0	0	1
0	1	1	1	0	0	0	1	0	1
0	1	0	1	1	0	1	1	1	1
1	0	1	0	1	0	1	1	1	0
1	0	0	0	0	0	0	1	0	1
1	1	1	0	1	0	1	0	0	1
1	1	0	0	0	0	0	0	0	1

ВЫРАЖЕНИЕ ОДНИХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ ЧЕРЕЗ ДРУГИЕ

1. Функция f ₈(x_1,x₂) =x₁x₂(импликацияx₁вx₂) может быть записана посредством функций дизъюнкции и отрицания

x₁>x₂=x ₂.

Доказательство осуществляется посредством таблиц истинности.

x 1 x 2 x1x2 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1

x1 x2 x 2 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1

2. Функцию эквивалентности f₇(x_1,x₂)=x₁~x₂ =x₁x₂выразим посредством других функцийx₁~x₂= (x₂)&(x ₁ )

x 1	x 2	x1~x2
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

x 1	x 2			x 2	x1	(x2)&(x 1 )
0	0	1	1	1	1	1
0	1	1	1	1	0	0
1	0	0	0	0	1	0
1	1	0	0	1	1	1

3. f ₁₁(x_1,x₂) = x₁ x₂=

4. = x

x
0	1	0
1	0	1

5. x₁& x₂=

6. x₁x₂=