Свойства конъюнкции, дизъюнкции и отрицания

Функции конъюнкции и дизъюнкции обладают рядом свойств, аналогичных свойствам обычных операций умножения и сложения. Легко убедится в том, что для этих функций выполняются сочетательный

x₁&(x₂&x₃)= (x₁&x₂)&x₃,

x₁(x₂x₃)= (x₁x₂)x₃,

переместительный

x₁x₂= x₁x₂,

x₁& x₂= x₁&x₂,

и распределительный законы. Кроме того, выполняется распределительный закон дизъюнкции относительно конъюнкции.

x₁(x₂&x₃)= (x₁x₂)& (x₁x₃).

Проверим справедливость этого закона путем сравнения таблиц для функций, стоящих в левой и правой частях рассматриваемого соотношения.

Совпадение построенных таблиц доказывает наше утверждение.

Рассмотрим теперь ряд простых, но весьма важных соотношений

х1=1; х0=х; х=1; хх=х;

х&1=х. х&0=0. х&=0. х&х=х.

И как следствие получаем

хх…х=х,

х&х&…&х=х.

Как обобщение формул получаем следующие формулы, называемые формулами (законами) де Моргана

х₁х₂…х_n=;

х₁&х₂&…&х_n=.

Пример 3:

Упростим формулы:

1. x₂x₃x₁₂x₃ = x₃(x₂x₁₂) = x₃((x₂x₁)&(x₂₂)) = (x₁x₂)x_3.

2. x₁₁x₂₁₂ x₃₁₂x₃ x₄ = x₁₁(x₂₂₃ x₄) =

x₁₁(x₂x₃₂₃x₄) = (x₁₁)(x₁x₂x₃₂₃х₄) = x₁(x₂x₃)()x₄ =

x₁(x₂х₃())(x₂x₃x₄) = x₁x₂x₃x_4.

Свойства функций сложения по модулю 2, импликации, штриха Шеффера и стрелки Пирса (функции Вебба)

Свойства функции сложения по модулю 2 и функции импликации часто бывают полезными при анализе и синтезе различных дискретных устройств.

Для функции сложения по модулю 2 выполняются переместительный и сочетательный законы, а также распределительный закон относительно конъюнкции:

x₁x₂= x₂x₁;

x₁(x₂x₃)= (x₁x₂)x₃;

x₁&(x₂x₃)= (x₁&x₂)( x₁&x₃).

Справедливы также очевидные соотношения

xx=0;

x0=х;

x1=;

х=1.

Кроме того, выполняется формула х₁х₂= x₁x₂ x₁&x₂.

В отличие от всех ранее рассмотренных функций для импликации не выполняются переместительный и сочетательный законы, однако справедливы следующие соотношения:

хx=1;

x=;

x1=1;

х0=;

0х=1;

1х=х;

х₁х₂= ;

х₁х₂ х₁= х₁.

Функции дизъюнкции и конъюнкции могут быть выражены через импликацию следующим образом:

х₁х₂= х₂;

х₁&х₂=.

Для функции Шеффера и Вебба справедлив переместительный закон:

х₁ /х₂= х₂/х₁;

х₁х₂= х₂х₁.

Сочетательный закон для них не выполняется:

х₁/(х₂/х₃)(х₁/х₂)/х₃ ;

х₁( х₂х₃) (х₁ х₂) х₃.

Справедливы следующие очевидные соотношения, проверка которых аналогична приведенным выше примерам и осуществляется при помощи таблиц истинности:

х /х=, х х=;

х/=1, х=0;

х/1=, х1 =0;

х/0=1, х0=;

х₁/х₂==;

х₁х₂==&.

Функции Шеффера и Вебба связаны между собой соотношениями, аналогичными формулами де Моргана для функций конъюнкции и дизъюнкции:

х₁/х₂=;х₁х₂=.

ПРИМЕР

Упростим формулу:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
0	0	0	0	0	1	0	0	1	0	0	1
0	0	1	0	0	1	0	0	1	0	0	1
0	1	0	0	0	0	0	0	1	1	0	1
0	1	1	0	1	0	0	1	0	1	1	0
1	0	0	0	0	1	0	0	1	1	0	1
1	0	1	1	0	1	1	1	0	1	1	0
1	1	0	0	0	0	0	0	1	1	0	1
1	1	1	1	1	0	0	1	0	1	1	0