37

Министерство образования и науки украины

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ВЫСШЕЕ УЧЕБНОЕ ЗАВЕДЕНИЕ

ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Методические указания и задания

к лабораторным работам по курсам

“ДИСКРЕТНЫЕ СТРУКТУРЫ“,

“ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ“

Донецк - 2009

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ВЫСШЕЕ УЧЕБНОЕ ЗАВЕДЕНИЕ

ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Методические указания и задания

к лабораторным работам

по курсам “Дискретные структуры”,

“ Теория алгоритмов и вычислительных процессов “

( для студентов специальностей

7.050102 “Программное обеспечение автоматизированных систем”,

7.080407 “Компьютерный эколого-экономический мониторинг ”)

Утверждено на заседании кафедры

прикладной математики и информатики

протокол № 14 от 29.06.09.

Донецк - 2009

УДК 681.3.07

Методические указания и задания к лабораторным работам по курсам “Дискретные структуры“, “Теория алгоритмов и вычислительных процессов“ (для студентов специальностей 7.050102 “Программное обеспечение автоматизированных систем”, 7.080407 “Компьютерный эколого-экономический мониторинг ”) / разраб.: Назарова И.А., Коломойцева И.А. – Донецк: ДонНТУ, 2009 – 35с.

Изложенные теоретические основы, методические рекомендации, контрольные вопросы и задания для выполнения лабораторных работ по следующим разделам курса теории алгоритмов и вычислительных процессов:

• теория рекурсивных функций;

• машины Тьюринга;

• композиция машин Тьюринга;

• нормальные алгоритмы Маркова.

Составители: Назарова И.А., доцент

Коломойцева И.А., ст. преп.

Рецензент: Теплинский С.В., к.т. н., доц.

Лабораторная работа №1

Рекурсивные функции

Цель работы: получить практические навыки в записи алгоритмов с использованием аппарата рекурсивных функций.

Теоретическая справка

Вычислимые функции – числовые функции, значения которых можно вычислять посредством единого для данной функции алгоритма.

Арифметические функции – функции, области определения и значений которых целые неотрицательные числа, то есть натуральный ряд + число ноль.

Частичные арифметические функции – арифметические функции с ограниченной областью определения, остальные – всюду определенными.

Примитивно-рекурсивные функции

В качестве простейших функций в теории рекурсивных функций приняты следующие:

1.– константа «ноль».

2.– « последователь ».

3.– функция тождества или выбора аргумента, проекция.

Оператор суперпозиции (подстановки) – подстановка в функцию от переменных функций от переменных, что дает новую функцию отпеременных.

Суперпозицией функций и называют функцию:

;

.

Оператор примитивной рекурсии , определяющий значение функции , записывается в виде следующей схемы:

Примитивно-рекурсивная функция – арифметическая функция, которая может быть получена из простейших с помощью конечного числа применений операторов суперпозиции и примитивной рекурсии.

Примитивно-рекурсивные функции являются всюду определенными.

Пример 1. Константа a получается путем суперпозиции функцийи:

Пример 2. Операция сложения может быть определена с помощью оператора примитивной рекурсии:

Таким образом, функция получена из простейшихипутем применения оператора примитивной рекурсии, что соответствует определению примитивно-рекурсивной функции.

Пример 3. Примитивная рекурсивность операции умножения доказывается с использованием сложения:

Пример 4. Примитивная рекурсивность операции возведения в степень доказывается следующим образом:

Пример 5. Операция вычитания не является примитивно-рекурсивной, т.к. она не всюду определена: результат операции a-b при не определен в области натуральных чисел. Однако примитивно-рекурсивной является так называемое арифметическое (усеченное) вычитание или разность.

Арифметическое вычитание:

Для доказательства примитивной рекурсивности вначале рассмотрим операцию: ;

т.е. операция – примитивно-рекурсивна.

Дополнительное свойство:

.

арифметическое вычитание – примитивно-рекурсивно.

Пример 6. Функция – аналог функциидля натуральных чисел.

Функция примитивно-рекурсивна:

–антисигнум, функция обратная .

.

Пример 7. Примитивная рекурсивность функций , и модульразности двух чисел доказывается с помощью арифметического вычитания:

Отношение называетсяпримитивно-рекурсивным, если примитивно-рекурсивна его характеристическая функция :

Пример 8. Отношение – примитивно-рекурсивно.

Действительно, .

Отношение примитивно-рекурсивно.

Действительно, .

Отношение примитивно-рекурсивно.

Действительно, .

Оператор минимизации (-оператор, оператор наименьшего корня) определяет новую арифметическую функцию отn переменных с помощью ранее построенной арифметической функции отn+1 переменных. Пусть существует некоторый механизм вычисления функции , причем значение функциинеопределенно, если этот механизм работает бесконечно, не выдавая никакого определенного значения.

Зафиксируем набор значений аргументов и рассмотрим уравнение относительноy: ; чтобы найти решение этого уравнения, натуральное, будем вычислять последовательность значений:

для ..

Наименьшее целое неотрицательное значение , удовлетворяющее этому уравнению:обозначим:

.

Говорят, что функция получена из функцииоперацией минимизации, если:

.

Оператор минимизации работает бесконечно в одном из следующих случаев:

1) значение не определено;

2) значение дляопределены, но не равны нулю, а значение– не определено;

3) значение определены для всех, но не равны нулю.

Оператор минимизации является удобным средством получения обратных функций: вычитание, деление, извлечение корня и так далее.

Пример 9. Определение операции «вычитание»:

.

Пример 10. Определение операции «деление»:

.

Пример 11. Определение операции « извлечение корня »:

.

Пример 21. Определение операции « логарифм »:

Пример 13. Процесс вычисления функции с помощью оператора минимизации приведен ниже:

Частично-рекурсивная функция – функция, которая может быть построена из простейших с помощью конечного числа применений оператора суперпозиции, примитивной рекурсии и минимизации.

Частично-рекурсивная функция является не всюду определенной, причем там, где она не определена, процесс ее вычисления продолжается бесконечно.

Общерекурсивная функция – всюду определенная частично-рекурсивная функция.

Связь между алгоритмами и рекурсивными функциями выражается тезисом Черча: какова бы ни была вычислимая неотрицательная целочисленная функция от неотрицательных целочисленных аргументов, существует тождественно равная ей частично-рекурсивная функция.