1.9. Дифференциал функции

Литература: [5], Ч.1, гл. 5, §§ 5.3, 5.4

Пусть функция y = f (x) дифференцируема на отрезке [a‚ b]. Производная этой функции в некоторой точке x отрезка [a‚ b] определяется равенством .

На основании свойства функции, имеющей конечный предел, имеем , где─ бесконечно малая более высокого порядка, чем, т.е..

Тогда

или .

Таким образом, приращение функции представлено в виде суммы двух слагаемых, одно из которыхлинейное относительнои является главной частью приращения функции, если, а второе─ бесконечно малая более высокого порядка малости по сравнению с.

Дифференциалом (первого порядка) функции y = f (x) называется главная часть ее приращения, линейная относительно приращения аргумента .

Дифференциал аргумента равен приращению аргумента

Дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал аргумента: .

Геометрически дифференциал представляет собой приращение ординаты касательной к графику функции в точке (рис. 1.4).

Рис. 1.4

Основные свойства дифференциала:

1) , где;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) .

Последнее свойство называется свойством инвариантности формы первого дифференциала, здесь u ─ не независимая переменная, а дифференцируемая функция.

Если приращение аргумента мало по абсолютной величине, тоиТаким образом, дифференциал функции может применяться для приближенных вычислений.

Дифференциалом второго порядка функции y = f (x) называется дифференциал от дифференциала первого порядка: Аналогично определяетсядифференциал третьего порядка: Вообще,

Если y = f (x) и x − независимая переменная, то дифференциалы высших порядков вычисляются по формулам

, , … ,.

Пример. Найти дифференциал функции .

Решение. .

1.10. Возрастание и убывание функции. Нахождение интервалов монотонности функции

Литература: [5], Ч.1, гл. 6, § 6.2

Функция y = f (x) называется возрастающей в интервале (а‚ b), если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е. для любых x₁ и x₂ из интервала (а‚ b) таких, что x₂ > x₁, выполняется неравенство f (x₂) > f (x₁) (рис. 1.5, а). Функция y = f (x) называется неубывающей, если f (x₂) ≥ f (x₁).

Функция y = f (x) называется убывающей в интервале (а‚ b), если большему значению аргумента (x₂ > x₁) соответствует меньшее значение функции (f (x₂) < f (x₁)) (рис. 1.5, б). Функция y = f (x) называется невозрастающей, если f (x₂) ≤ f (x₁).

Интервалы возрастания и убывания функции называются интервалами монотонности.

Рис. 1.5. Графики возрастающей (а) и убывающей (б)

в интервале (а‚ b) функций

Достаточный признак возрастания (убывания) функции: если дифференцируемая в интервале (а‚ b) функция имеет положительную (отрицательную) производную для всех x(а‚ b), то она возрастает (убывает) в этом интервале.

Пример. Найти интервалы монотонности функции

.

Решение. Функция определена на всей числовой оси: . Находим производную заданной функции:

.

Знаки производной определяем методом интервалов:

Таким образом, функция убывает на интервале (1, 3) и возрастает на (-∞, 1) (3, +∞).