- •Программа,
- •Общие указания
- •Программа курса высшей математики (II семестр)
- •Тема 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- •Тема II. Исследование функций с помощью производных
- •Тема ііі. Неопределённый интеграл
- •Тема IV. Определённый интеграл
- •Тема V. Несобственные интегралы
- •1.2. Механический и геометрический смысл производной. Уравнения касательной и нормали к кривой
- •1.3. Основные правила дифференцирования
- •1.4. Обратная функция и ее производная
- •1.5. Производная сложной функции
- •1.6. Производные основных элементарных функций.
- •1.7. Производная функции, заданной неявно. Производная степенно-показательной функции. Производная функции, заданной параметрически
- •1.8. Производные высших порядков
- •1.9. Дифференциал функции
- •1.10. Возрастание и убывание функции. Нахождение интервалов монотонности функции
- •1.11. Максимумы и минимумы функции. Нахождение экстремумов функции
- •1.12. Нахождение промежутков выпуклости и вогнутости кривой. Точки перегиба
- •1.13. Асимптоты кривой
- •1.14. Схема полного исследования функции и построение ее графика
- •1.15. Наибольшее и наименьшее значения функции
- •1.16. Применение производной для вычисления пределов (правило Лопиталя)
- •2. Неопределенный интеграл
- •2.1. Первообразная функции и неопределенный интеграл
- •2.2. Таблица основных неопределенных интегралов. Непосредственное интегрирование
- •2.3. Интегрирование методом замены переменной
- •2.4. Метод интегрирования по частям
- •2.5. Интегрирование некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен
- •2.6. Интегрирование дробно-рациональных функций
- •2.7. Интегрирование тригонометрических функций. Универсальная тригонометрическая подстановка
- •2.8. Интегрирование некоторых иррациональных функций. Тригонометрические подстановки
- •2.9. Интегрирование в элементарных функциях
- •3. Определённый интеграл
- •3.1. Задача о площади. Определение определенного интеграла
- •3.2. Основные свойства определенного интеграла
- •3.3. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньтона-Лейбница
- •3.4. Замена переменной в определенном интеграле
- •3.5. Интегрирование по частям
- •3.6.2. Вычисление длин дуг плоских кривых
- •3.6.3. Вычисление объемов тел вращения
- •3.6.4. Вычисление площадей поверхностей тел вращения
- •4. Несобственные интегралы
- •4.1. Несобственные интегралы первого рода
- •Пусть подынтегральная функция f (X)имеет первообразную f (X). Тогда согласно формуле Ньютона-Лейбница и определению несобственного интегралабудем иметь
- •4.2. Несобственные интегралы второго рода
- •Используя определение, находим
- •Т.Е. Этот несобственный интеграл является расходящимся. В общем случае нетрудно доказать, что несобственный интеграл второго рода сходится прии расходится при.
- •Задания для контрольных работ Контрольная работа № 3 «Производная»
- •Контрольная работа № 4 «Неопределенный и определенный интегралы»
4.1. Несобственные интегралы первого рода
Литература: [5], гл. 10, § 10.8
Определение. Пусть функция f (x) определена и непрерывна на интервале [a, +∞), тогда несобственным интегралом первого рода от функции f (x) называется
.
Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, если же он не существует или равен бесконечности, то несобственный интегралрасходится.
Аналогично определяются несобственные интегралы вида:
;
.
С геометрической точки зрения сходимость несобственного интеграла первого рода означает, что фигура, ограниченная кривой f (x) ≥ 0, прямыми x = a и y = 0, бесконечно вытянутая в направлении оси Ox, имеет конечную площадь.
Пусть подынтегральная функция f (X)имеет первообразную f (X). Тогда согласно формуле Ньютона-Лейбница и определению несобственного интегралабудем иметь
.
Аналогично .
Итак, несобственные интегралы сходятся тогда и только тогда, когда существуют и конечны пределы и.
Примеры. Исследовать на сходимость 1) ; 2).
Решение.
1) По определению имеем
Следовательно, несобственный интеграл сходится и равен .
2) По определению для имеем
Если же , то.
Таким образом, несобственный интеграл сходится при, и расходится для.
4.2. Несобственные интегралы второго рода
Литература: [5], гл. 10, § 10.9
Рассмотрим функцию y = f (x), которая определена на промежутке [a, b] и неограниченна при x→b−0, т.е. . Точкуx = b при этом будем называть особой для функции f (x). Будем считать, что для любого на отрезке [a, b−ε] функция f (x) интегрируема.
Определение. Если существует конечный предел , то он называется несобственным интегралом второго рода от функцииf (x) на промежутке [a, b]:
.
Аналогично, если функция f (x) имеет особенность в точке x = a, то по определению будем считать
.
Если же особой точкой для функции f (x) является точка x = c такая, что , то по определению будем считать
.
Если подынтегральная функция f (x) имеет первообразную F (x), то по определению несобственного интеграла второго рода имеем
.
Если первообразная F (x) непрерывна на [a, b], то несобственный интеграл можно вычислять непосредственно.
Аналогично рассуждают и в том случае, когда особой точкой является точка a или внутренняя точка c.
Примеры. Вычислить 1) ; 2).
Решение.
1) Подынтегральная функция в точке x = 1 терпит разрыв второго рода (т. е. не ограничена), тогда по определению несобственного интеграла второго рода запишем:
,
т.к. предел конечен, то несобственный интеграл сходится и равен 1.
2) В данном случае подынтегральная функция терпит разрыв второго рода в точкеx = 0.
Используя определение, находим
,
Т.Е. Этот несобственный интеграл является расходящимся. В общем случае нетрудно доказать, что несобственный интеграл второго рода сходится прии расходится при.
К несобственным интегралам применимы методы замены переменной и интегрирования по частям.
Замечание. Может оказаться, что заменой переменной несобственный интеграл второго рода сводится к несобственному интегралу первого рода (и наоборот) или превращается в обычный интеграл.
Для несобственных интегралов первого рода справедливы признаки сходимости.
Теорема 1 (признак сравнения). Пусть при a ≤ x <+∞ определены функции 0 ≤ f (x) ≤ g (x). Тогда из сходимости интеграла следует сходимость интеграла, а из расходимости интеграласледует расходимость интеграла.
Теорема 2 (предельный признак сравнения). Если при a ≤ x <+∞ функции f (x) > 0 и g (x) > 0 и существует конечный предел , то несобственные интегралыисходятся или расходятся одновременно.
Для несобственных интегралов второго рода справедливы признаки сходимости, аналогичные теоремам 1 и 2.