Лекции СТАТИСТИКА

Для определения оптимального числа групп используется формула Стерджесса: n 1 3,322 lgN , где п – число групп, N – объем выборки. Наличие «пустых» интервалов, в которые не попала ни одна из единиц выборки, свидетельствует о том, что группировка построена неправильно.

После определения числа групп необходимо определить интервалы группировки. Интервал – это значения варьирующего признака, лежащие в определенных границах. Каждый интервал имеет верхнюю и нижнюю границы и свою величину (разность между верхней и нижней границами). Чаще всего строят группировку с равными интервалами. Длина интервала вычисляется по фор-

Для изображения интервального вариационного ряда используется гистограмма. На оси абсцисс откладываются величины интервалов, а частоты изображаются прямоугольниками, построенными на соответствующих интервалах. Высота столбцов гистограммы должна быть пропорциональна частотам.

Гистограмма для рассмотренного выше примера представлена на Рис. 5.

13

соответствующие им частоты: x i xi i .

2. Сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней равна нулю:

xi x i 0.

Средняя арифметическая невзвешенная (простая) используется в тех случаях, когда расчет осуществляется по несгруппированным данным:

7

Средняя арифметическая взвешенная используется при расчете по сгруппированным данным или вариационным рядам (в случае, когда значения осредняемого признака повторяются):

xxi i .

i

Рассчитаем средний тарифный разряд рабочих по данным Табл. 8.

Табл. 8. Тарифные разряды рабочих завода

Воспользуемся следующим исходным соотношением: ИСС Совокупный тарифный разряд . Число рабочих

С учетом имеющихся данных получим: x 2 8 3 16 4 17 5 12 6 7 3,9. 8 16 17 12 7

При расчете средней по интервальному вариационному ряду от интервалов переходят к их серединам.

Найдем средние продажи колбасы в месяц по данным Табл. 5.

Табл. 9. Расчетная таблица

15

Средние продажи за месяц составили x 481,1 9,62 млн.р 50

СТРУКТУРНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВАРИАЦИОННОГО РЯДА

МОДА И МЕДИАНА

Мода Mo - это значение изучаемого признака, повторяющееся с наибольшей частотой.

Медиана Me - это значение признака, приходящееся на середину упорядоченной совокупности.

Рассмотрим на примерах способы нахождения моды и медианы.

НАХОЖДЕНИЕ МОДЫ И МЕДИАНЫ ПО НЕСГРУППИРОВАННЫМ ДАННЫМ

Пусть имеются следующие данные о рабочих бригады, состоящей из 9 человек:

нахождение моды

В данной бригаде больше всего рабочих 3-го разряда, следовательно этот тарифный разряд и будет модальным.

нахождение медианы

Для определения медианы необходимо провести ранжирование:

Центральным в этом упорядоченном ряду является пятое слева значение (рабочий 4-го разряда), следовательно, данное значение признака и будет медианным.

Если ранжированный ряд содержит четное число значений, то медиана определяется как средняя их двух центральных значений.

НАХОЖДЕНИЕ МОДЫ И МЕДИАНЫ ДЛЯ ДИСКРЕТНОГО ВАРИАЦИОННОГО РЯДА

Пусть имеются данные о распределении рабочих предприятия по тарифномуразряду:

нахождение моды

Наибольшую частоту (60 человек) имеет 5-ый тарифный разряд, следовательно, он и является модальным.

нахождение медианы

Для определения медианного значения признака находят номер медианной варианты ряда:

NMe N 1,

2

где N – объем выборки.

Для примера: NMe 190 1 95,5. 2

Полученное дробное значение указывает на то, что медианным интервалом будет тот, в который попали 95-ый и 96-ой рабочие. Для того, чтобы определить этот интервал, необходимо вычислить накопленные частоты:

16

Согласно таблице, 95-ый и 96-ой рабочие находятся в третьей группе, следовательно, медианным является 4-ый разряд.

НАХОЖДЕНИЕ МОДЫ И МЕДИАНЫ ДЛЯ ИНТЕРВАЛЬНОГО ВАРИАЦИОННОГО РЯДА

По данным Табл. 5:

нахождение моды

Для интервальных вариационныхрядов мода рассчитывается по формуле:

Mo Mo 1

Mo xMo h Mo Mo 1 Mo Mo 1 ,

где xMo - нижняя граница модального интервала (модальным называется интервал, имеющий наибольшую частоту);

h– длина модального интервала;

Mo - частота модального интервала;

Mo 1 - частота интервала, предшествующего модальному;

Mo 1 - частота интервала, следующего за модальным.

Модальным будет 3-ий интервал, так как он имеет наибольшую частоту16.

16 7

Mo 7,65 1,7 16 7 16 9 8,61

нахождение медианы

Медианным будет 3-ий интервал, т.к. его накопленная частота 27 первая превышает половину общей суммы частот 50. Медиана рассчитывается по формуле:

где xMe - нижняя граница медианного интервала; h – длина медианного интервала;

SMe 1 - накопленная частота интервала, предшествующего медианному;

17

Me - частота медианного интервала.

1 50 11

КВАРТИЛИ, КВАРТИЛЬНЫЙ РАЗМАХ

Квартили – это значения признака, делящие ранжированную совокупность на четыре равновеликие части.

Различают:

нижнюю квартиль Qн, отделяющую ¼ часть совокупности с наименьшими значениями при-

знака;

среднюю квартиль – медиану;

верхнюю квартиль Qв , отделяющую ¼ часть совокупности с наибольшими значениями при-

знака.

Для расчета квартилей по интервальному вариационномурядуиспользуются формулы:

где xQн - нижняя граница интервала, содержащего нижний квартиль (интервал определяется по

накопленной частоте, первой, превышающей 25%);

xQв - нижняя граница интервала, содержащего верхний квартиль (интервал определяется по

накопленной частоте, первой, превышающей 75%); h – длина интервала;

SQн 1 - накопленная частота интервала, предшествующего интервалу, содержащему ниж-

ний квартиль;

SQв 1 - накопленная частота интервала, предшествующего интервалу, содержащему верх-

ний квартиль;

Qн , Qв - частота интервала, содержащего нижний и верхний квартиль соответственно.

Квартильныйразмах – разница между верхней и нижней квартилями: H Qв Qн

Квартильный размахохватывает 50% значений выборки.

Для данных Табл. 5:

Интервал, содержащий нижнюю квартиль – 3-ий, т.к. накопленная частота (27) первая превышает ¼ общей сумы частот (12,5).

Интервал, содержащий верхнюю квартиль – 5-ый, т.к. накопленная частота (42) первая превышает

18

¾ общей сумы частот (37,5).

Квартильный размах– полоса, шириной 11,48 7,81 3,67 содержит 50% значений выборки.

ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ

Исследование вариации имеет важное значение, так как величина вариации признака в статистической совокупности характеризует ее однородность.

В статистической практике для изучения и измерения вариации используются различные показатели (меры) вариации в зависимости от поставленных перед исследователем задач. К ним относятся:

размах вариации R (разность между максимальным и минимальным значением выборки, рассматривали ранее)

стандартное (среднее квадратическое) отклонение

дисперсия

моменты распределения

При изучении вопроса о вариации нужно четко представлять себе условия, порождающие вариацию признаков, а также сущность и значение измерения вариации признаков. Изучение вариации признаков общественных явлений находится в прямой связи с рядами распределения.

СТАНДАРТНОЕ (СРЕДНЕЕ КВАДРАТИЧЕСКОЕ) ОТКЛОНЕНИЕ

Стандартное отклонение оценивает разброс наблюдаемых значений вокруг их средней.

Вычисляется по формулам:

xi x 2

невзвешенное: ;

Выражается в тех же единицах измерения, что и количественный признак.

В пределах x находится 68,3% вариант. Более того, в пределах x 2 - 95,4% вариант, в пре-

делах x 3 - 99,7%. На практике почти не встречаются отклонения, которые превышают 3 . Отклонение 3 может считаться максимально возможным. Это положение называется правилом «трех сигм»*. Таким образом, по показателю можно оценить полосу, в которой происходит вариация «основной массы» (95,4%) значений признака. Как правило, в оставшиеся 5% входят выбросы – нетипичные значения.

Оценим разброс значений по данным Табл. 5.

* Правило «трех сигм» имеет место в условиях нормального распределения, которое будет рассмотрено позже.

19

муле x2 x 2 , которая вытекает из приведенных выше (если возвести правую часть равенства в квадрат и почленно разделить на N i ).

ДИСПЕРСИЯ

Представляет собой стандартное отклонение в квадрате.

невзвешенная: 2 xi x 2 ;

N

взвешенная: 2 xi x 2 i .

i

Дисперсия обладает одним существенным недостатком: ее значение выражается в квадратных единицах. Но, несмотря на это, она обладает рядом замечательных свойств, использование которых получило широкое распространение в различных областях знаний, на их основе были разработаны новые методы исследования, а также новые показатели количественной характеристики большого класса явлений.

Свойства дисперсии:

1.Дисперсия постоянной величины равна нулю.

2.Уменьшение всех значений признака на одну и ту же величину а не меняет величины дисперсии:

(2x a) x2 .

Значит, средний квадрат отклонений можно вычислить не по заданным значениям признака, а по отклонениям их от какого-либо постоянного числа.

3.Уменьшение всех значений признака в k раз уменьшает дисперсию в k2 раз:

2x/k k2x2 .

4.Дисперсия (разброс) от средней всегда меньше дисперсий, вычисленных от любых других величин.

20