Лекции СТАТИСТИКА

МОМЕНТЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Момент k-го порядка – это средняя арифметическая k-ой степени отклонений отдельных вариант от какой-то постоянной величины а.

Mk xi a k i .

i

Если принять a 0, то момент называется начальным:

xik i mk i .

Тогда начальный момент первого порядка равен m1 xi i x, начальный момент второго по-

i

Если принять a x, то моменты называются центральными:

ВИДЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ПОНЯТИЕ О ЗАКОНОМЕРНОСТЯХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

В приведенных выше примерах можно заметить определенную зависимость между изменением значений варьирующего признака и частот. Частоты в этих рядах с увеличением значения варьирующего признака первоначально увеличиваются, а затем после достижения какой-то максимальной величины в середине ряда уменьшаются. Это свидетельствует о том, что частоты в вариационных рядах изменяются закономерно в связи с изменением варьирующего признака. Такие закономерности изменения частот в вариационных рядах называются закономерностями распределе-

ния.

Одна из важных целей статистического изучения вариационных рядов состоит в выявлении закономерности распределения и определении ее характера. Закономерности распределения наиболее отчетливо проявляются только при массовом наблюдении. Поэтому основной путь в выявлении закономерностей распределения состоит в построении вариационных рядов для достаточно больших выборок. Кроме того, большое значение для нахождения закономерностей распределения имеет правильное построение самого вариационного ряда: необходимо определить оптимальное число групп и размер интервала, при котором закономерность распределения видна более отчетливо.

Закономерности распределения выражают свойства явлений, общие условия, влияющие на формирование вариации признака.

ИЗУЧЕНИЕ ФОРМЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Основная задача анализа вариационных рядов – выявление подлинной закономерности распределения путем исключения влияния второстепенных, случайных для данного распределения факторов – достигается увеличением объема исследуемой совокупности при одновременном уменьше-

21

нии интервала ряда. Если изобразить эти данные графически, то гистограмма распределения все более и более приближается к некоторой плавной линии – кривой распределения.

Кривая распределения – это графическое изображение в виде непрерывной линии изменения частот в вариационном ряду, функционально связанного с изменением вариант.

Получение кривой распределения на основе гистограммы можно представить лишь для гипотетического случая, соответствующего бесконечно большой выборке и бесконечно малой ширине интервала ряда. Только при этих идеализированных условиях кривая распределения будет выражать функциональную связь между значениями варьирующего признака и соответствующими им частотами и представлять так называемое теоретическое распределение.

Теоретической кривой распределения называется кривая, выражающая общую закономерность данного типа распределения в чистом виде, исключающего влияние случайных для него законо-

мерностей факторов. Но получение кривой распределения из эмпирических данных (гистограмма) возможно лишь для описанного выше идеального случая. Поэтому при проведении анализа вариационных рядов целесообразно свести эмпирическое распределение к одному из хорошо исследованных видов теоретического распределения, рассматриваемых статистикой. При этом теоретическое распределение играет роль некоторой идеализированной модели эмпирического распределения, а сам анализ вариационных рядов сводится к сопоставлению эмпирического и теоретического распределений и определению степени различия междуними.

Различают следующие разновидности кривых распределения:

1.Одновершинные

симметричные

Для симметричных распределений средняя, мода и медиана (примерно) равны. Также равны частоты любых двух вариант, равноотстоящих в обе стороны от центра распределения.

асимметричные

Для асимметричных рядов выполняется соотношение Mo x 3 Me x .

2.Многовершинные (бимодальные)

При сравнении асимметрии нескольких распределений с разными единицами измерения вычисля-

ется относительный показатель асимметрии:

As x Mo или As 3 x Me

Если As 0, то асимметрия является правосторонней (Рис. 6), если As 0, то асимметрия является левосторонней (Рис. 7).

Для симметричных распределений рассчитывается показатель эксцесса («крутость» ряда):

E 4 3.

4

Если E 0, то распределение островершинное (Рис. 8), если E 0, то плосковершинное (Рис. 9).

22

НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Многие явления, рассматриваемые каждое в отдельности, кажутся случайными. Однако если анализировать эти явления в совокупности с другими аналогичными, то часто удается обнаружить закономерность, связанную с их возникновением. Например, мы не можем предсказать уровень дохода человека, если не располагаем о нем некоторой дополнительной информацией (о возрасте, профессиональной принадлежности, месте работы и т. д.). В то же время при рассмотрении группы людей закономерности формирования доходов проявляются более отчетливо. Так, во многих странах большинство населения имеет относительно низкий уровень дохода, некоторые – более высокий и только у незначительной части уровень дохода очень высокий. Именно существование подобных статистических закономерностей делает необходимым изучение индивидуальных, на первый взгляд беспорядочно колеблющихся данных.

В статистике широко используются различные виды теоретических распределений: нормальное, биноминальное, распределение Пуассона и др. Чаще всего в качестве теоретического распределения используется нормальное распределение. Графиком нормального распределения является симметричная колоколообразная кривая, которая выражается уравнением:

Кривая нормального распределения полностью определяется средней арифметической и стан-

дартным отклонением – N x, .

Для удобства вычислений выборочные значения изучаемого признака стандартизируются, т. е.

В этом случае параметры нормального распределения N(0;1).

23

1 t2

Величина e 2 определяется по таблице.

2

Свойства кривой нормального распределения.

f (t) четная функция, т. е. f (t) f ( t). Следовательно, изображающая ее кривая распределена симметрично относительно оси ординат, т. е. x Mo Me;

функция имеет бесконечно малые значения при t . Это означает, что ветви кривой удалены в бесконечность и асимптотически приближаются к оси абсцисс;

функция имеет максимум при t 0. Отсюда следует, что модального значения кривая достига-

ет при x x. Величина максимума составляет 1 .

2

На практике можно сделать первичное предположение о нормальности распределения рассматриваемой выборки по гистограмме и ящику с усами. В случае нормальности гистограмма и ящик будут (почти) симметричны.

Идея построения диаграммы ящик с усами представлена на Рис. 10.

Рис. 10. Идея построения ящика с усами

Построим еще раз гистограммуи ящик с усами по данным Табл. 5 (Рис. 11, Рис. 12). И гистограмма и ящик являются симметричными, что, скорее всего, указывает на нормальное распределение.

Важно! Если объем выборки N 30, то считают, что данные распределены не нормально.

Но если известно, что выборка извлечена из нормально распределенной совокупности, то тогда можно говорить о нормальности.

24

КРИТЕРИИ СОГЛАСИЯ

Подчиняется выборка определенному закону распределения (в частности, нормальному) или нет, можно проверить с помощью критериев согласия: Пирсона 2 и Колмогорова ( ).

критерий согласия Пирсона

Выдвигается гипотеза H0 о нормальном распределении выборки. Далее вычисляется фактическое значение критерия Пирсона:

Фактическое значение сравнивается с теоретическим табл2 (определяется по таблице критических значений критерия Пирсона) на уровне значимости и определенном числе степеней свободы.

Уровень значимости – это вероятность допустить ошибку. В данном случае, утверждая, что распределение не является нормальным. Обычно 0,05.

Число степеней свободы определяется следующим образом:

число интервалов (n) – 1 – число параметров распределения.

Для нормального распределения число параметров равно двум (x и ), значит число степеней свободы n 3.

Если факт2 табл2 , то расхождение между выборочными и теоретическими частотами считается случайным и гипотеза H0 о выдвинутом законе распределения принимается с вероятностью ошибки .

Если факт2 табл2 , то гипотеза о нормальном распределении отклоняется. Проверим, подчинен ли ряд из Табл. 5 нормальномузакону.

Выдвигаем гипотезу H0 о нормальном распределении выборки.

факт2 7,66 табл2 9,49, следовательно, гипотеза H0 принимается, и расхождение между выборочными и теоретическими частотами считается случайным.

26

критерий согласия Колмогорова

Величина критерия рассчитывается по формуле:

где D – максимальная разность между накопленными частотами эмпирического и теоретическо-

го распределений, N – число наблюдений (сумма всех частот).

По таблице критических значений критерия Колмогорова находят табл на уровне значимости .

Если факт табл , то можно считать, что отклонения фактических частот от теоретических явля-

ется случайным. Следовательно, в основе фактического распределения лежит закон нормального распределения.

Рассмотрим данные из Табл. 5.

Максимальное значение разности между эмпирическими и теоретическими частотами составляет

5, т. е. D 5.

По таблице определяем: табл 1,36 факт 0,71. Значит, в основе фактического распределения лежит закон нормального распределения.

27

АНАЛИЗ ВЛИЯНИЯ ФАКТОРОВ

Общая идея методов: определить, влияет ли фактор на отклик или нет. Вопросы о качественном характере этого влияния («каким образом влияет?») статистикой не рассматриваются.

В зависимости от типа переменной фактора и отклика будут использоваться разные методы обработки.

T-КРИТЕРИЙ СТЬЮДЕНТА

Рассмотрим, как один качественный фактор влияет на количественный отклик.

Ограничения критерия

1.Качественный фактор должен иметь строго два значения.

2.Количество элементов в двух группах n1,n2 , определенных значениями качественного при-

знака, должны быть примерно равны и не менее 30 для каждой.

3.Распределение в двух группах, определенных значениями качественного признака, должно быть близко к нормальному, или известно, что обе выборки извлечены из нормально распределенной совокупности.

Постановка задачи

Повлияла ли проведенная рекламная акция на объем продаж некоторого товара? Исходные данные представлены в Табл. 10.

Табл. 10. Исходные данные

Были получены данные объемов продаж за 9 дней до проведения акции и за 8 дней после. Фактически задача сводится к проверки существенности различия средних объемов продаж до и после проведения данной акции. Предположим, что данные о продажах подчинены нормальному распределению (как до, так и после проведения акции).

Алгоритм использования критерия

1)выдвинуть гипотезуо несущественном различии средних в группах: H0 : x1 x2 ;

2)рассчитать объединенную дисперсию:

29

2 12 n1 1 22 n2 1 ,

n1 n2 2

а затем, фактическое значение t-критерия:

Затем полученное фактическое значение сравнивается с tтабл на уровне значимости и числе степеней свободы n1 n2 2. Если tтабл tфакт , то гипотеза о равенстве средних принимается,

в противном случае – отвергается; Используем критерий для нашего примера. Составим расчетную таблицу(Табл. 11).

Табл. 11. Расчетная таблица

Найдем дисперсии продаж до и после акции и общую дисперсию:

tтабл 2,133 tфакт 4,39, значит гипотеза H0 отклоняется, средние не равны и акция сущест-

венно повлияла на объем продаж. В среднем объем продаж увеличился на 526 638 112 тыс.р. 30