6 .Базовые логические операции и схемы. Таблицы истинности.

Основные логические операции

Отрицание (инверсия), от латинского inversio -переворачиваю:

-соответствует частице НЕ, словосочетанию НЕВЕРНО, ЧТО;

-обозначение: не A, A, -A;

таблица истинности:

A A

0 1

1 0

Инверсия логической переменной истинна, если сама переменная ложна, и, наоборот, инверсия ложна, если переменная истинна.

• пример: A = {На улице идет снег}.

A={Не верно, что на улице идет снег}

A={На улице не идет снег};

Логическое сложение (дизъюнкция), от латинского disjunctio - различаю:

-соответствует союзу ИЛИ;

-обозначение: +, или, or, V;

-таблица истинности:

A B F

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

Дизъюнкция ложна тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны.

• пример: F={На улице светит солнце или дует сильный ветер};

Логическое умножение (конъюкция), от латинского conjunctio -связываю:

-соответствует союзу И

(в естественном языке: и А, и В, как А, так и В,А вместе с В,А, не смотря на В, А, в то время как В);

-обозначение: Ч, •, &, и, ^, and;

-таблица истинности:

A B F

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

Конъюкция истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны.

• пример: F={На улице светит солнце и дует сильный ветер};

Любое сложное высказывание можно записать с помощью основных логических операций И, ИЛИ , НЕ.С помощью логических схем И, ИЛИ, НЕ можно реализовать логическую функцию, описывающую работу различных устройств компьютера.

2) Таблица истинности — это таблица, описывающая логическую функцию.

Под «логической функцией» в данном случае понимается функция, у которой значения переменных (параметров функции) и значение самой функции выражают логическую истинность. Например, в двузначной логике они могут принимать значения «истина» либо «ложь» ( либо , либо ).

Табличное задание функций встречается не только в логике, но для логических функций таблицы оказались особенно удобными, и с начала XX века за ними закрепилось это специальное название. Особенно часто таблицы истинности применяются в булевой алгебре и в аналогичных системах многозначной логики.

Конъю́нкция- логическая операция, по своему применению максимально приближённая к союзу "и".логи́ческое умноже́ние, иногда просто "И".

Дизъю́нкция-логическая операция, по своему применению максимально приближённая к союзу «или» в смысле «или то, или это, или оба сразу». логи́ческое сложе́ние, иногда просто «ИЛИ».

Импликация — бинарная логическая связка, по своему применению приближенная к союзам «если…то…».Импликация записывается как посылка следствие; применяются также стрелки другой формы и направленные в другую сторону (остриё всегда указывает на следствие).

Эквивале́нция (или эквивале́нтность) — двуместная логическая операция. Обычно обозначается символом ≡ или ↔.

7 . Логические выражения, таблицы истинности логических выражений.

Логическое выражение – запись или устное утверждение, в которое, наряду с постоянными, обязательно входят переменные величины (объекты). В зависимости от значений этих переменных логическое выражение может принимать одно из двух возможных значений: ИСТИНА (логическая 1) или ЛОЖЬ (логический 0)

Сложное логическое выражение – логическое выражение, составленное из одного или нескольких простых (или сложных) логических выражений, связанных с помощью логических операций.

Логические операции и таблицы истинности

A B F

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0

F = A & B.

Логическое умножение КОНЪЮНКЦИЯ - это новое сложное выражение будет истинным только тогда, когда истинны оба исходных простых выражения. Конъюнкция определяет соединение двух логических выражений с помощью союза И.

A B F

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0

F = A + B

Логическое сложение – ДИЗЪЮНКЦИЯ - это новое сложное выражение будет истинным тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из исходных (простых) выражений. Дизъюнкция определяет соединение двух логических выражений с помощью союза ИЛИ

A неА

1 1

1 0

Логическое отрицание : ИНВЕРСИЯ - если исходное выражение истинно, то результат отрицания будет ложным, и наоборот, если исходное выражение ложно, то результат отрицания будет истинным/ Данная операция означает, что к исходному логическому выражению добавляется частица НЕ или слова НЕВЕРНО, ЧТО

A B F

1 1 1

1 0 0

0 1 1

0 0 1

Логическое следование: ИМПЛИКАЦИЯ - связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием (А), а второе (В)– следствием из этого условия. Результатом ИМПЛИКАЦИИ является ЛОЖЬ только тогда, когда условие А истинно, а следствие В ложно. Обозначается символом "следовательно" и выражается словами ЕСЛИ … , ТО …

A B F

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Логическая равнозначность: ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ - определяет результат сравнения двух простых логических выражений А и В. Результатом ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ является новое логическое выражение, которое будет истинным тогда и только тогда, когда оба исходных выражения одновременно истинны или ложны. Обозначается символом "эквивалентности"

Порядок выполнения логических операций в сложном логическом выражении:

1. инверсия

2. конъюнкция

3. дизъюнкция

4. импликация

5. эквивалентность

Для изменения указанного порядка выполнения операций используются скобки.

Построение таблиц истинности для сложных выражений:

Количество строк = 2n + две строки для заголовка (n - количество простых высказываний)

Количество столбцов = количество переменных + количество логических операций

При построении таблицы надо учитывать все возможные сочетания логических значений 0 и 1 исходных выражений. Затем – определить порядок действий и составить таблицу с учетом таблиц истинности основных логических операций.

ПРИМЕР: составить таблицу истинности сложного логического выражения D = неA & ( B+C )

А,В, С - три простых высказывания, поэтому :

количество строк = 23 +2 = 10 (n=3, т.к. на входе три элеманта А, В, С)

количество столбцов : 1) А

2) В

3) С

4) не A это инверсия А (обозначим Е)

5) B + C это операция дизъюнкции (обозначим F)

6) D = неA & ( B+C ), т.е. D = E & F это операция конъюнкции

1 2 3 4 5 6

А В С E = не А (не 1) F = В+С (2+3) D = E&F (4*5)

1 1 1 0 1 0

1 1 0 0 1 0

1 o 1 0 1 0

1 o 0 0 0 0

0 1 1 1 1 1

0 1 0 1 1 1

0 0 1 1 1 1

0 0 0 1 0 0