- •Тема 1. Вступ до математичного аналізу
- •1.1. Поняття функції
- •1.2. Побудова графіків функцій шляхом елементарних перетворень
- •Тема 2. Елементи теорії границь
- •2.1. Границя послідовності та границя функції
- •2.2. Важливі границі
- •2.3. Нескінченно малі (н. М.) і нескінченно великі (н. В.) функції та зв’язок між ними
- •2.4. Порівняння н. М. Функцій
- •2.5. Основні теореми про границю
- •2.6. Техніка обчислення границь
- •2.8. Неперервність функції
- •Завдання для самостійної роботи
- •Тема 3. Диференціальне числення функції однієї змінної
- •3.1. Похідна функції
- •Таблиця похідних основних елементарних функцій
- •3.3. Диференціал функції
- •3.4 Похідні та диференціали вищих порядків
3.4 Похідні та диференціали вищих порядків
(higher derivative, higher-order differential)
Нехай функція диференційовна на проміжку X, а - її похідна, яка також є функцією відносно x. Від цієї функції знову можна шукати похідну за умови, що вона існує на заданому проміжку. Похідна від похідної називається похідною другого порядку (second-order derivative) функції і позначається одним із символів:
.
Так у фізиці, якщо - закон, за яким змінюється пройдений шлях при прямолінійному русі точки, то є прискоренням (acceleration) цієї точки в момент часу t.
Аналогічно і т. д.
Взагалі похідною n-го порядку від функції називається похідна від похідної -го порядку і позначається
, або , або .
Зауваження. При , похідну n-го порядку позначають відповідно ; при позначають: або .
Приклад 3.17. Знайти похідну другого порядку від функції
.
Розв’язання. Знаходимо спочатку за формулою .
.
Знаходимо похідну від отриманої функції:
, тобто .
Приклад 3.18. Знайти похідну n-го порядку від функції .
Розв’язання.
.
Формула Лейбніца. Якщо функції , мають похідні до n-го порядку включно, то для обчислення похідної n-го порядку від добутку цих функцій використовують формулу Лейбніца:
. (3.14)
Похідні вищих порядків від функцій, заданих параметрично. Якщо функції і параметрично задають функцію , то похідні , , можна послідовно обчислити за формулами:
, і т. д.
Так, для похідної другого порядку має місце формула:
. (3.15)
Приклад 3.19. Знайти похідну функції , заданої параметрично: , .
Розв’язання.
.
за формулою (3.15)
.
Диференціали вищих порядків. Нехай функція диференційовна на проміжку X. Її диференціал
називається також диференціалом першого порядку і його можна розглядати як функцію змінної x(приріст аргументу вважається сталим).
Означення 3.4. Диференціалом другого порядку (second differential) функції в точці xназивається диференціал від її диференціала першого порядку (за умови, що повторний приріст незалежної змінної x збігається з попереднім ) і позначається :
.
За означенням маємо
,
позначають . Таким чином
. (3.16)
Аналогічно, диференціалом n-го порядку (позначається ), n=2,3,... називається диференціал від диференціала порядку за умови, що в диференціалах весь час беруться одні й ті самі прирости незалежної змінної x. Тобто
.
При цьому справедлива формула:
. (3.17)
Приклад 3.20. Обчислити , якщо .
Розв’язання. Скористаємось формулою (3.16). Для цього знайдемо :
, .
Отже
.