Строительная механика методичка

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Ухтинский государственный технический университет

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМАХ

Методические указания и задания к выполнению Расчетно-графической работы по строительной механике для студентов специальности ПГС

К 89

Методические указания предназначены для выполнения расчетнографической работы по дисциплине "Строительная механика" для студентов специальности ПГС (200).

Указания содержат краткое изложение теории перемещений, примеры

Содержание указаний соответствует рабочей учебной программе.

Методические указания рассмотрены и одобрены кафедрой ПГС от 17. 04. 2008 пр. N 5

Ухтинский Государственный технический университет 2008 г. Ухта ул. Первомайская. 13

ВВЕДЕНИЕ.

Строительные конструкции и сооружения должны быть не только прочными, но и достаточно жесткими. Это означает, что перемещения различных точек конструкции не должны превышать предельно допустимых значений, которые назначаются из условия нормальной эксплуатации сооружения,

Например, вертикальные перемещения мостовой фермы при проходе по ней поезда не должны превышать 1/500 ÷ 1/1000 пролета, иначе резко ухудшаются условия эксплуатации, как самого моста, так и подвижного состава.

Вопрос вычисления перемещений имеет не только большое самостоятельное значение, но и является составной частью расчета статически неопределимых систем, а также задач динамики и устойчивости сооружений.

Предлагаемые методические указания посвящены, вопросу вычисления перемещений в статически определимых системах.

Рассматриваются вопросы определения перемещений, вызванных:

1.Внешней статически приложенной нагрузкой:

2.Температурными воздействиями:

3.Вынужденным смещением опорных связей.

Методические указания содержит задания к расчетно-графической работе для студента дневной формы обучения, краткие теоретические положения и примеры расчётов.

УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЫ.

Расчетно-графическая работа включает в се6я три задачи:

1.Вычисление перемещений в раме от статически приложенной нагрузки;

2.Вычисление перемещений в раме от температурного воздействия;

3.Вычисление перемещений в раме от вынужденного смещения опорных

связей.

стандартных листах с приведением необходимых вычислений и пояснений. Чертежи должны быть выполнены карандашом без помарок, с четко сделанными подписями.

Для получения зачета необходимо решить все три задачи и защитить работу лично.

При защите работы преподаватель проводит опрос по ее выполнению и

Мора. Этот метод вытекает из принципа возможных перемещений и позволяет определить перемещение системы по заданным деформациям ее элементов. Согласно этому принципу, упругая система находится в равновесии тогда и

состояние, называемое "грузовым", есть изучаемое деформированное под воздействием внешних факторов состояние системы.

В единичном состоянии вычисляется от единичного силового фактора внутренние силы, а в грузовом - деформации от воздействия внешних факторов. Затем, согласно принципу возможных перемещений, составляется сумма работ сил "единичного" состояния на возможных деформациях "грузового". При этом следует помнить, что внешние силы Р производят положительную работу, а внутренние силы - токую же, но отрицательную работу. Приравнивая нулю, выражение возможной работы, получаем для искомого перемещения формулу:

t

( tср Ni dx hc M i dx) Rim m; где

А- площадь поперечного сечения:

µ- коэффициент, учитывающий неравномерность распределения касательных напряжений по сечению (зависит только от формы поперечного сечения стержня)

- коэффициент линейного расширения материала:

Rlm- опорная реакция, возникшая в единичном состоянии от силы Pl=l в той опорной связи, которая в действительном состоянии сооружения перемещается на величину ∆m:

∆m – смещение опорной связи.

Приведенная формула Мора дает возможность определить перемещения от действия не только внешней нагрузки (три первых слагаемых), но и температура

Для этого необходимо рассмотреть два состояния одной и той же системы – грузовое и единичное. В грузовом состоянии к системе приложено заданная внешняя нагрузка. В единичном состоянии к системе прикладывается единичная сила или момент, в зависимости от того, какое вычисляется перемещение. Если находится линейное перемещение, то по направлении его прикладывается единичная сила. Если определяется угол поворота, то прикладывается единичный момент. Для обоих состояний на каждом участке определяются внутренние усилия:

в грузовом состоянии -

в единичном состоянии -

Затем найденные выражения усилий подставляются в подинтегральные функции Формулы Мора и перемещения находится интегрированием.

При расчете сооружений, элементы которых работают на центральное растяжение — сжатие (например, фермы), в формуле перемещений вставляется лишь слагаемое, содержащее продольное усилие:

N p N i dx EA

в частности для ферм, где элементы представляют собой прямолинейные стержни, интегрирование можно заменить обычным суммированием:

от заданной и единичной нагрузки.

Определение перемещений в системах, состоящих из прямолинейных элементов постоянной жесткости, можно значительно упростить путем применения специального приема вычисления интеграла вида:

Mp Mi dx.

Этот прием называют способом перемножения эпюр. Впервые этот способ был предложен в 1925 году студентом Московского института инженеров железнодорожного транспорта А.К. Верещагиным, поэтому его еще называют способом Верещагина.

Согласно этому правилу, результат перемножения двух эпюр равен произведению площади Wp одной из них на ординату Yc другой (обязательно

прямолинейной) эпюры, взятую под центром тяжести площади первой эпюры:

Mp Mi dx p Yc

EI EI

При перемножении ставится знак плюс, когда эпюра и ордината под центром ее тяжести, имеют одинаковые знаки, и минус – когда разные знаки. Очень важно отметить, что ордината должна быть взята обязательно с прямолинейной эпюры. Если обе эпюры прямолинейны, то ордината может быть взята из любой эпюры.

При перемножении эпюр сложной конфигурации их разделяют на простые фигуры, так, например, трапецию разбивают на два треугольника, эпюру, очерченную по квадратной параболе,- на два треугольника и

Иногда ни одна из перемноженных эпюр не является прямолинейной, но одна из них (или обе) ограничена ломаными линиями. В этих случаях для перемножения эпюр предварительно разбивают их на такие участки, в пределах каждого из которых, по крайней мере, одна эпюра прямолинейна.

При использовании правила Верещагина приходится вычислять площади различных фигур и определять положения их центров тяжести, что создает определенную сложность при определении перемещений. Поэтому при перемножении сложных эпюр пользуются готовыми формулами, среди которых наиболее распространенными являются универсальная формула (формула трапеций) и формула Симпсона. Та и другая формулы позволяют перемножить эпюры моментов, когда одна из них – параболическая, в виде квадратной параболы, а другая – линейная, при постоянной жесткости участка.

1. Универсальная формула (рис. 3а):

Рис. 3

2.Формула Симпсона (рис. 3б):

МАТРИЧНАЯ ФОРМУЛА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ.

Матричная форма определения перемещения эффективно в том случае, когда в системе в системе требуется определить несколько перемещений от нескольких вариантов внешней нагрузки.

Матричная форма записи позволяет, с одной стороны эффективно использовать вычислительные машины, а с другой – сформулировать матричные алгоритмы расчета статически неопределимых систем.

При использовании матричной формы в первую очередь надо записать матричную форму “перемножения” наиболее характерных участков эпюр. Эту запись можно сделать на основании универсальной формы или формулы Симпсона.

Нетрудно проверить, совершая соответствующие матричные операции, что универсальной формуле отвечает следующая матричная запись:

Если перемножаются две линейные эпюры, т.е. f=0 то матричная запись универсальной записи будет иметь вид:

Каждая из трех приведенных матричных записей в общем виде может быть представлена следующим образом:

DEI - матрица сопряжений или матрица податливости; в зависимости от вида перемножаемых эпюр (линейная, параболическая) имеет разный вид;

как D и Df , получим следующие компактные соотношения:

Мi T должно равняться числу точек, в которых вычисляются перемещения. Число

столбцов матрицы [МР] или [МРf] должно равняться числу вариантов рассматриваемых загружений. Тогда в результате в место скалярной величины

и D получаются из матрицы D соответствующей заменой в последней EI l на

участку системы соответствует два равных элемента.

Здесь необходимо оговорить правило знаков, устанавливаемое для моментов и температур. Для этого необходимо каждому волокну. На эпюрах моментов приписать соответствующий знакплюс или минус. На каждом участке это делается независимо, но аналогично по всем эпюрам. Тогда за следует принимать температуруt1 волокна, соответствующего положительному моменту, а

за t2 - ту которая отвечает волокну, где откладываются отрицательные моменты.

Таким образом, в первом слагаемом формулы знак получается автоматически. При определении перемещений, вызванных осадкой опор, формула:

i Rim m в матричной записи будет выглядеть:

i RmT m, где

RmT - транспонированный вектор реакций от единичного воздействия,

приложенного по направлению искомого перемещения.

m - вектор заданных смещений опорных связей.

Знаки Rm и mдолжны соответствовать одному и тому же правилу

Н3

R в R3

Рис. 5

Рассмотрим равновесие I и II-го элементов.

В I- ом элементе составим уравнение моментов относительно точки 2.

ΣM2=0: RA·2-HA·3+H1·3+R1·2=0

Для II – го элемента уравнение моментов относительно точки 3:

ΣM3=0: R1·2-H1·6+P·3=0.

Решаем совместно эти два уравнения:

R1 2 3H1 -4,5 0;2R1 6H1 9 0.

ΣY=0: R2+q·4+R3-RB=2,25+2·4+0-10,25=0

Mв. 0; H2·3-R2·2-q·2·1+q·2·1=1,5·3-2,25·2=0

Используя метод сечений, строим эпюру моментов на каждом элементе отдельно с последующим объединением их по связующим шарнирам

(рис. 6.).

Аналогично строим эпюру моментов M1 , показанную на рис. 6.

RB= 1 0,25. 4

R в

Для третьего участка, где эпюра моментов имеет параболический характер, матрицу податливости можно записать в виде

тогда в транспонированной матрице единичных моментов третий участок запишется по трем параметрам моменты по концам участка и между ними,

T

момент в среднем сечении участка, т.е. M III 0,5 0,25 0 ; аналогично запишется матрица грузовых моментов на этом участке:

матрица грузовых моментов в соответствии с эпюрой Мр и записанный матрицей податливости D1Df будет иметь вид:

4 ,5

0

Перемножение матриц возможно только в том случае, когда число столбцов транспортированной матрицы единичных моментов равно числу строк матрицы податливости n mf (2 5 2 5). Матрица, получаемая в результате

перемножения, будет иметь количество строк, равное количеству строк

транспортированной матрицы единичных моментов ( m 1), и количество столбцов матрицы податливости nf = 11, т.е. порядок промежуточной матицы

будет m,nf 1,11 . Только в этом случае возможно дальнейшее перемножение получаемой промежуточной матрицы с матрицей грузовых

моментов. Порядок результирующей матрицы будет равен (m,nр ) , в нашем случае это будет число.

Промежуточная матрица