Математическое выражение для кривой Лиссажу

где A,B— амплитуды колебаний,a,b— частоты,δ— сдвиг фаз

Вид кривой сильно зависит от соотношения a/b. Когда соотношение равно 1, фигура Лиссажу имеет вид эллипса, при определённых условиях она имеет видокружности(A=B,δ=π/2радиан) и отрезкапрямой(δ= 0). Ещё один пример фигуры Лиссажу —парабола(a/b= 2,δ= π/2). При других соотношениях фигуры Лиссажу представляют собой более сложные фигуры, которые являются замкнутыми при условииa/b—рациональное число.

Фигуры Лиссажу, где a= 1,b=N(N—натуральное число) и

Вопрос 32

Во́лны на пове́рхности жи́дкости— название разнообразныхволн, возникающих наповерхностираздела между жидкостью и газом или жидкостью и жидкостью. Волны на поверхности жидкости различаются принципиальным механизмом колебания (капиллярный, гравитационный и т. д.), что приводит к различнымзаконам дисперсиии, как следствие, к различному поведению этих волн.

ПРОДОЛЬНЫЕ И ПОПЕРЕЧНЫЕ ВОЛНЫ

В физике мы имеем дело с волнами различной природы: механическими, электромагнитными и т.д. Несмотря на отличия, эти волны имеют много общих черт. Волны, рассматриваемый параметр которых (смещение молекул, механическое напряжение, и т.д.) изменяется периодически вдоль оси распространения, называются продольными волнами. Если колебания происходят перпендикулярно оси распространения волны (как у электромагнитных волн, например), то такие волны называются поперечными. 

Если взаимосвязь между частицами среды осуществляется силами упругости, возникающими вследствие деформации среды при передаче колебаний от одних частиц к другим, то волны называются упругими. К ним относятся звуковые, ультразвуковые, сейсмические и др. волны. На первой анимации изображён процесс распространения  продольной упругой волны в решётке, состоящей из шариков, соединённых упругими пружинками. Каждый шарик колеблется по гармоническому закону в продольном направлении, совпадающем с направлением распространения волны. Амплитуда каждого шарика одинакова и равна A, а фаза колебаний линейно растёт с увеличением номера шарика на т.е.

x₀=Asin(t);  x₁=Asin(t+); x₂=Asin(t+2); x₃=Asin(t+3);  и т.д.

где  -частота волны, t - время,  - изменение фазы от шарика к шарику

В поперечной волне колебания происходят в направлении, перпендикулярном направлению распространения волны. Как и в случае продольных волн амплитуды колебаний всех шариков одинаковы, а фаза линейно изменяется от шарика к шарику

y₀=Bsin(t);  y₁=Bsin(t+); y₂=Bsin(t+2); y₃=Bsin(t+3);  и т.д.

В общем виде уравнение распространения волны может быть записано в виде: z = Acos(tkxгде z - координата, по которой происходит движение частиц, x - координата оси, вдоль которой распространяется волна, k - волновое число, равное / v, v - скорость распространения волны. Зная частоту волны и скорость её распространения, мы можем найти сдвиг фаз между соседними шариками (частицами):  / v)a, где a - расстояние между шариками в решётке.

На следующей анимации изображено наложение продольной и поперечной волн равной амплитуды, сдвинутых по фазе на 90 градусов. В результате каждая масса совершает круговые движения. Уравнение движения каждого шарика может быть описано уравнением:

x=Acos(t+_); y=Asin(t+_)

У волн, наблюдаемых на поверхности жидкости, так называемых поверхностных волн, взаимосвязь между соседними элементами поверхности жидкости при передаче колебаний осуществляется не силами упругости, а силами поверхностного натяжения и тяжести. Колебания масс в сетке моделируют движение молекул в волне на поверхности жидкости. В случае малой амплитуды волны каждая масса движется по окружности, радиус которой убывает с расстоянием от поверхности. Массы внизу сетки находятся в покое.

Волны на поверхности жидкости не являются ни продольными, ни поперечными. Как мы можем видеть на анимации, красный шарик, моделирующий молекулу поверхности жидкости, движется по круговой траектории. Таким образом, волна на поверхности жидкости представляет собой суперпозицию продольного и поперечного движения молекул.

каждая волна распространяется с какой-то скоростью. Под скоростью волныпонимают скорость распространения возмущения. Например, удар по торцу стального стержня вызывает в нем местное сжатие, которое затем распространяется вдоль стержня со скоростью около 5 км/с.

Скорость волны определяется свойствами среды, в которой эта волна распространяется. При переходе волны из одной среды в другую еескоростьизменяется.

Поскольку скорость волны - величина постоянная (для данной среды), то пройденное волной расстояние равно произведению скорости на время ее распространения. Таким образом, чтобы найти длину волны, надо скорость волны умножить на период колебаний в ней:

33 вопрос

Таким обpазом, уpавнение плоской волны без диспеpсии имеет следующий вид:

или

(1.2)

Здесь v есть фазовая скоpость волны, а вид функции f может быть любым. Наиболее интеpесными являются пеpиодические синусоидальные волны, когда функция f пpедставляет собой синус или косинус аpгумента (синус и косинус отличаются дpуг от дpуга только сдвигом по фазе на /2). В качестве аpгумента синуса не м ожет быть пpосто (x-vt), т.к. эта величина pазмеpная, тогда как аpгумент синуса должен быть безpазмеpным. Поэтому синусоидальная волна описывается следующим уpавнением:

 Всякая функция, удовлетворяющая уравнению (5.6.4), описывает некоторую волну, причем корень квадратный из величины, обратной коэффициенту при производной по времени ,  есть фазовая скорость волны.

      Используя оператор Лапласа , волновое уравнениеможно записать в виде ,

34 вопрос

ЕТА ВОЛНЫ Бета-волны – это быстрые волны, низкой амплитудой, приблизительно от 14 до 40 циклов в секунду (Hz). Бета-волны генерируются естественным путем, когда мы находимся в состоянии бодрствования, тревожном состоянии сознания. Изначально бета-волны представляют собой процесс обработки данных,  включающий сотни мелких вычислений между двумя ближайшими областями коры,  которые работают вместе для достижения результата ("Что это был за звук или образ?", "Сколько будет  2 + 3?", "Это опасно?", "Я боюсь», «Что мне делать?").Существуют 3 основные подгруппы бета-волн: Гамма (от 35 до 40 Hz),Бета 2 (от 24 до 34 Hz) иБета 1 (от 14 до 23). Гамма волны, самые быстрые, отражают пиковую деятельность сознания. Чрезмерная активность бета 2 связана с повышенными эмоциональными состояниями, такими как волнение и страх. Частоты бета 1 связаны с познавательными процессами, такими как решение проблем и мышление.

АЛЬФА ВОЛНЫАльфа волны вибрируют в диапазоне примерно от 8 до 13 Hz. Альфа активность представляет собой вибрации между фрагментами коры и зрительным бугром, известным как корково-таламическая петля.Альфа волны проявляются в период сенсорного покоя (например, в тихой комнате с закрытыми глазами), умственной релаксации, глубокой релаксации, медитации или умиротворенного сознания (диссоциации). Альфа волны – вожделенный результат медитирующих. Традиционные методы медитации требуют 10 лет практики, чтобы достичь производства идеальных альфа волн. Производство альфа волн сокращается в момент обработки данной частью мозга сенсорной информации, а также в процессе решения проблем и познавательной активности. Увеличение количества альфа волн дает:чувство умиротворения улучшенное академическую успеваемостьт епло в конечностях повышенную производительность на рабочем месте ощущение благополучия снижение тревожности, улучшение сна

ТЕТА ВОЛНЫ Частоты тета волн - от 4 до 8 Hz. Тета волны ассоциируются с состоянием сна, «сумеречным» состояние, состоянием гипнотического транса, БДГ – фазой сна и состоянием сновидений. В этом состоянии увеличивается активность памяти. Память улучшается (особенно долговременная память), повышается доступ к подсознанию, возможность свободных ассоциаций, повышается креативность, имеют место неожиданные озарения. Это таинственное, особое состояние сознания. Долгое время ученые не могли исследовать это состояние мозга, т.к. обычный человек не может долгое время в нем оставаться без того, чтобы ни свалиться в сон (что также дает большое количество тета волн).ДЕЛЬТА ВОЛНЫДельта волны – самые медленные волны мозговой активности с частотой, колеблющейся от 1 до 4 Hz. Дельта волны доминируют, когда мы засыпаем и продолжают преобладать в состоянии глубокого сна.Повышенная активность дельта волн наблюдается также как следствие мозговых травм, когда сформировалась ткань рубца (обратная связь корково-таламической петли нарушается). Возрастает очевидность того факта, что некоторые люди могут оставаться в неком подобии сознания на фоне активности дельта волн.