BiometriaKnuga

6.2. Види і особливості регресій

Як вже відзначалось, зв'язок між взаємозалежними змінними величинами Х і Y має математичний вираз у вигляді: у = f (х). Наведене рівняння характеризує кореляційний характер зв'язків між Х і Y і, водночас, відображає регресійну особливість, тобто є регресивним рівнянням. Це рівняння дозволяє визначити середні значення однієї ознаки (Y) за відповідними значеннями іншої ознаки (Х). В правій частині даного рівняння коефіцієнт (f)

є числовим значенням, яке фіксує, наскільки змінюється значення (Y) відносно значення (Х). Це є коефіцієнт регресії або міра регресії. Він показує, на яке число збільшиться значення (Y) при збільшенні (Х) на відповідну одиницю міри. При графічному зображенні від величини (f) залежить крутість розміщення лінії, що з'єднує одержані значення (Y) (рис. 5).

Для всіх значень (х), що аналізуються, цей коефіцієнт в разі прямолінійної залежності завжди лишається постійним коефіцієнтом, що визначає міру збільшення або зменшення (у) щодо значень (х) або (х) щодо

Рис. 5. Зміни положення значень (у) в залежності від значення (f) і сталого коефіцієнта (а) у випадках:

1. а = 1,0; f = 2; y = a + 2 (x)

2. a = 1,0; f = 0,5; y = a + 0,5 (x)

(у). Фактичне положення лінії (Y) відрізняється від лінії (Х) на відповідну сталу величину (а), від якої залежить положення лінії f (x) в системі координат.

Отже, лінія регресії в системі координат в разі залежності у = f (х) буде визначатись формулою прямої лінії у = а + bx, де (а) − сталий коефіцієнт, а (b) − коефіцієнт пропорційності, який зветься коефіцієнтом регресії або мірою регресії.

Коефіцієнт (а) означає рівень регресії, тобто її положення над віссю абсцис, який відраховується на початку координат від осі (х).

Коефіцієнт (b) вказує наскільки збільшиться (або зменшиться) значення змінної ознаки (у), якщо значення (х) зміниться на одиницю виміру.

Криволінійна регресія має місце тоді, коли із зміною (Х) на відповідну одиницю виміру (Y) з кожним наступним збільшенням (Х) змінюється не на сталу величину, а на якусь частинку більше або менше. Розмір цієї частинки регламентується ще одним коефіцієнтом "С", перемноженим на (х2), тобто Сх2. Тоді формула лінійної регресії приймає вигляд у = a + bx + Сx2, а крива на графіку буде відповідно згинатись від ординати (Х) вверх (якщо значення

Сx2 буде додатнім) або вниз (значення Сx2 − від'ємне).

Криволінійність регресій може бути більш складною в порівнянні з наведеною. Тоді у математичну формулу регресії будуть включатись коефіцієнти, перемножені на наступні степені (х) − х3; х4 і т.д.

Відображення характеру залежності ознак (Y) і (Х) відповідним математичним рівнянням зветься її апроксимацією (апроксимація − від лат. approximatio − зближення, тобто наближене зображення одних математичних об'єктів іншими, наприклад: ламаних ліній − кривими.)

Лінія регресії і відповідно до неї формула апроксимації обираються згідно, характером залежності одержаних експериментальних даних, який апробується за даними ранжированих рядів розподілу, а краще − за характером їх графічного виразу.

Звичайно за лінію вирівнювання приймають геометрично найбільш прості лінії: пряму, параболічну, логарифмічну, для яких за експериментальними даними складають рівняння зв'язку.

При цьому можуть бути такі випадки.

1.Якщо із збільшенням однієї ознаки спостерігається пропорційне збільшення або зменшення другої ознаки, за лінією вирівнювання обирається пряма лінія, тобто парабола першого порядку:

y = a+bx.

2.Якщо зміна залежного показника виражається плавною кривою з одним вигином, для вирівнювання беруть параболу другого порядку:

y = a+bx+cx2.

3.В більш складних випадках − для кривих ~ образної форми, що мають два вигини, для вирівнювання експериментальних даних використовують параболу третього порядку:

y = a+bx+cx2+dx3.

4.Якщо із збільшенням незалежної ознаки спостерігається уповільнене збільшення другої ознаки, застосовують логарифмічну криву:

x2

y = a + bx + cx2 .

5. Коли залежна ознака при збільшенні незалежної поступово зростає і це зростання переходить в пропорційне збільшення, для вирівнювання

береться крива типу

y=axb+c.

В наведених формулах х − незалежна змінна; у − залежна змінна; a, b, c − постійні коефіцієнти, які підлягають визначенню.

Дуже часто ознаки біологічних об'єктів знаходяться в зворотній залежності одна від одної. Таку залежність обраховують рівняннями гіперболи:

y = a + b або y = a + b.

xx

Доцільно перед проведенням розрахунків рівнянь залежності графічно встановити відповідність характеру розподілу ознак тієї або іншої кривої розподілу.

6.3. Вирівнювання кривих регресій

Під вирівнюванням мається на увазі спосіб заміни ламаної лінії або ряду регресії на плавну згладжувану лінію. Для цього застосовуються наступні методи.

Графічній спосіб

Графічний спосіб вирівнювання полягає в тому, що після нанесення на графік емпіричних даних у вигляді ламаної лінії або у вигляді окремих крапок на око визначаються серединні крапки лінії регресії, які після цього з'єднуються суцільною лінією, яка є вирівняною лінією регресії.

Вирівнювання за способом ковзної середньої

Більш точні результати вирівнювання маємо, коли спочатку за даними двох або трьох послідовних експериментальних значень ряду регресії знаходимо середнє значення і потім з'єднуємо їх плавною кривою лінією.

Наведені способи дають лише орієнтовні результати, які можна використовувати лише для загальних уявлень про характер регресії.

Вирівнювання ліній регресії за способом найменших квадратів (Гаусс, 1806 р.)

Цей спосіб є більш обгрунтованим для рішення багатьох рівнянь.

В його основу покладена вимога, щоб сума квадратів відхилень варіант від середньої арифметичної була найменшою, тобто (yi–y)2=min.

Для рішення вирівнювання за цим способом необхідно:

1.Провести групування фактичного матеріалу в емпіричні ряди. Скласти графічне зображення емпіричних рядів.

2.Скласти початкове рівняння регресії.

3.В початкове рівняння підставити відповідні емпіричні ряди, утворюючи систему нормальних рівнянь.

4.Рішення сумісно одержаних рівнянь визначають їх параметри.

5.Підставивши значення параметрів в загальне початкове рівняння, одержують емпіричне рівняння регресії, яке виражає функціональну залежність між змінними Х і Y.

6.4. Визначення рівнянь регресій

Лінійна залежність

Як вже відзначалось, для математичного відображення зв'язку між Х і Y правлять рівняння загального виду: у = f (Х), де символом f (Х) позначена форма рівняння, яка більш або менш повно відображає функціональну залежність середньої величини однієї змінної (yx) від значення другої змінної (х). Такі математичні рівняння мають назву кореляційних або регресійних.

Залежність між біологічними ознаками в більшості випадків мають вираз простого рівняння лінійної залежності:

yx = a +bx,

114 Біометрія

де a i b − параметри рівняння − "а" − вільний член рівняння, а "b" є показником пропорційності, він зветься коефіцієнтом регресії.

Для визначення параметрів a i b застосовується система нормальних рівнянь:

∑y = an + b∑x − перше рівняння;

∑xy = a∑x + b∑x2 − друге рівняння,

де n − об'єм парних спостережень або число членів емпіричного ряду регресії.

Необхідно попередньо визначити значення таких величин: Σу; Σх; Σху; Σх2; Σу2, для цього складається наступна допоміжна таблиця за таким макетом:

В математичній статистиці доводиться, що вільний член рівняння лінійної функції

де

Для визначення цих коефіцієнтів в разі представлення залежності Х по Y аналогічно розраховуються коефіцієнти аху і bxy. Слід мати на увазі те, що для визначення коефіцієнтів а і b м о ж у т ь

застосовуватись також дещо трансформовані варіанти наведених формул, які рекомендуються в різних джерелах по варіаційній статистиці.

Для рівняння прямолінійної регресії обидва коефіцієнта (а) і (b) є вибірковими, тому їм властиві всі показники варіювання, тобто вони в тій чи іншій мірі відрізняються від значень відповідних коефіцієнтів в рівнянні, що характеризує генеральну сукупність [(α)] і [(β)]. Тoму коефіцієнти (а) і (b), одержані для рівняння вибіркової сукупності підлягають відповідній статистичній оціниці. Вона здійснюється за допомогою t−критерія із застосуванням нульової гіпотези. Для цього визначається вибіркове

яке використовується для обчислення критерія:

b tв = Sв .

Далі шляхом порівняння tв з tS за допомогою таблиці критерієв t−Cтьюдента (див. додаток 2) встановлюється значення коефіцієнта (b).

Помилка репрезентативності лінійної регресії визначається за відповідним коефіцієнтом кореляції і середнім квадратичним відхиленням за формулами:

Достовірність коефіцієнта регресії оцінюється за критерієм Стьюдента (tSt) з числом ступенів вільності − 2: