Геодезія 2
.pdf10000 (р
А тому <р"= 20000", або <р°= 5,6°. Залишається знайти необхідну довжину базису Ь. У відповідності з (11.7,2):
<р_ ер
р
|
або |
|
|
|
|
|
|
|
Ь = |
|
(11.7.25) |
|
|
|
Р |
|
|
|
Тоді |
для |
5 = 1000 м, <р° = 5,6°, |
р° |
= 57,3° матимемо: |
, |
1000мм-5,6" |
1ПП |
|
|
|
6 = |
57,3° |
— » 100м . |
|
|
|
|
Таким чином, для довжини мірного дроту |
10 |
= 24 м достатньо буде |
||
відкласти 4 мірних дроти. Під час вимірювання ліній довжиною 1000 м в траверсній полігонометрії необхідно буде відкласти в створі більше 40 дротів. Звідси зрозуміло, яке значне скорочення в затратах часу, якщо використовувати паралактичні ланки навіть при тому, що ще потрібно в кожній ланці точно вимірювати кути.
Як очевидно з розрахунків, точність полігонометричної ланки В.Я.Струве залежить від величини кута <р. Проте, для збільшення кута (р необхідно збільшувати довжину базису. У зв'язку з цим професор Моторний А.Д. запропонував [17] ланку полігонометрії, у якій базис розташовано не перпендикулярно до лінії, а вздовж лінії, тобто базис є частиною лінії, що визначається. Для однакових довжин базисів, але довших перпендикулярів (які не вимірюються), така ланка дає можливість збільшити кути (р і отримати значно вищу точність визначення 5. Для однакових за довжиною базисів та величин кутів (р, навпаки, точність ланки Струве дещо вища.
11.7.5. Суть віддалемірно-базисної полігонометрії
Віддалемірно-базисна полігонометрія - це поєднання віддалемірних визначень базисів з паралактичними ланками. Такий метод дуже еластичний і може застосовуватись в найбільш важких топографічних умовах. Як видно з рис. ІІ.7.7, базис Ь може бути виміряний мірним дротом, якщо лінії ходу 5,, 82, 53 - довгі, більше 1 км, або частіше, методом короткобазисної полігонометрії (Ь = 2-3 м), якщо лінії - короткі (50-100 м). Знайшовши з паралактичної ланки довжину ВИ = сі, далі, розв'язуючи трикутники АИВ, ВЬІС, визначають довжини сторін ходу 5,, 8г тощо.
252
5, |
В |
32 |
С |
83 |
Рис. ІІ.7.7. Ланка віддалемірно-базисної полігонометрії.
Виникає питанім про найбільш вигідне співвідношення між Ь, сі та 5 . Теоретичними дослідженнями доведено, що найбільш вигідними, тобто найбільш точними будуть ланки, коли виконується рівність:
і = |
(П.7.26) |
При цьому повинні бути наближено однакові кути |
<р{«<рг. |
II. 7.6. Типи паралактичних і віддалемірно-базисних ланок
Паралактичні ланки поділяються на прості та складні. Подамо деякі типи ланок, що можуть бути застосовані у випадку відсутності у виконавця робіт світловіддалемірів.
Прості типи паралактичних ланок
. . . А
Ь/2
•Ь |
А |
|
В |
|
Р т - - - . |
І"" |
|
|
|
|
|
Рис. Тип 1-а. |
Рис. Тип І-б. |
|
|
|
5 = </,+</,=- |
<Р\ |
ФІ |
|
і |
і ) |
|
|
|
||
Рис. Тип І' в.
5 = _> 2. (лінія 5 вимірюється незалежно два рази)
253
11.8. С т р о г е з р і в н о в а ж е н н я п о л і г о н о м е т р и ч н и х х о д і в
11.8.1. Недоліки спрощених методів зрівноваження
Згадаємо, як ми виконували обчислення координат теодолітного хо- ду, прокладеного між точками з відомими координатами, а також відомими п о ч а т к о в и м і кінцевим дирекційними кутами.
Аналогічно можна виконувати обчислення координат полігонометричного ходу. У теодолітному ході ми спочатку знаходили кутову нев'язку за формулою
|
|
и+1 |
и+1 |
и+1 |
^Ц |
1 |
1 |
|
|
||
де |
і 2_,Рт ~ відповідно практична і теоретична сума кутів ходу, |
||
іі
Потім вводили поправки у виміряні кути. Сума поправок у кути [с^ ] повин-
на дорівнювати нев'язці |
з оберненим знаком: |
(И.8.2) |
|
К ) = - Л . |
Це перша умова, яку має задовольняти виправлення кутів.
Потім за виправленими (зрівноваженими) кутами ми знаходили ди-
рекційні кути а,, |
а, маючи ще і виміряні довжини |
5( , знаходили прирости |
||
координат |
|
|
|
|
|
Лх, = 5, • соз а,; Ду, = 5, • &іп а і . |
(11.8.3) |
||
Далі окремо (незалежно від кутів) зрівноважували прирости коорди- |
||||
нат. Спочатку знаходили нев'язки за відомими формулами: |
|
|||
|
Л = 2 > - к - * „ ) ; |
|
(и*-4 ) |
|
|
|
і |
|
|
|
Л |
= і |
|
(И-8-5) |
Нев'язки розподіляли в прирости координат, виконуючи ще дві умо- |
||||
ви: суми поправок у прирости абсцис та ординат |
та [с/Ду,] |
повинні |
||
дорівнювати нев'язкам / х і / |
з оберненим знаком: |
|
||
|
|
|
|
(ІІ.8.6) |
|
|
[ < % ] = - / , - |
|
(и.8.7) |
За виправленими (ув'язаними) приростами знаходили координати |
||||
вершин ходу X, |
і Уі. Здається, ніби три геометричні умови, що виникають у |
|||
такому ході, виконані введенням поправок <ірі в кути та с/Дх(, |
<і&уі - в |
|||
прирости координат. Ось ці три умови записані у вигляді рівнянь: |
|
|||
255
умова дирекційних кутів ак |
= ап + ^ |
Д, у,. -180(п +1); |
|
||
|
|
і |
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
умова абсцис |
Хк |
= Х„ + |
Ахув; |
|
(II.8.8) |
|
|
і |
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
умова ординат |
Ух = Уп + ^ Ау^ |
|
|
||
|
|
і |
|
|
|
У формулах (11.8.8) прийняті позначення: рлув - |
ліві (по відношенню |
||||
до напрямку ходу), ув'язані кути повороту; Ахув, |
Ау |
- ув'язані |
прирости |
||
координат; ал, ак - задані початковий і кінцевий дирекційні кути; |
Хп, Уп - |
||||
задані координати початкової точки ходу; Хк, Ук - координати кінцевої точки. Але ці три умови (рівняння) розв'язувалися окремо.
Спочатку виконана умова [с/Д ] = |
, а потім, тільки після обчислен- |
ня приростів координат, виконано умови: |
[с/Ах,] = ~ / х , [(іАу^ = ~ / у . Ці три |
геометричні умови залежні між собою. Дійсно, зміна Д. кутів ходу викличе зміну довжин сторін ходу 5,. А це не враховано. Три рівняння потрібно розв'язувати разом. Тому, фактично, три геометричних умови, що виникають у ході, не задовольняються. Щоб впевнитися в цьому, будемо за вирахованими нами координатами, розв'язувати обернені геодезичні задачі,
тобто, знаходити довжини ліній 5"', а також |
дирекційні |
кути |
а,', а потім |
кути повороту Д'. Тоді виявиться, що а• * аі, |
Д * Д ; |
* |
, тобто, ні |
ув'язані кути /Зіуі не будуть такими, як виправлені поправками (с/Д.) - кути
Р\; ні обчислені за координатами довжини ліній 8[ не будуть такими, як |
|||
виміряні |
. Це означає, що знайдені координати не є такими, що задоволь- |
||
няють геометричні умови ходу, не є найімовірнішими. |
|
||
У цьому і є недоліки спрощених методів |
зрівноваження. Вказані |
||
недоліки присутні через те, що ми не враховували |
існуючих залежностей |
||
між лініями та кутами. Потрібно поправки в кути та |
лінії шукати з |
||
одночасного розв'язку трьох геометричних умов, що виникають в ході. |
|||
Такі |
зрівноваження, коли знаходяться поправки в |
кути та лінії з |
|
одночасного розв'язку умовних рівнянь, називаються строгими (точними), Накладається додаткова умова: сума квадратів поправок в кути та лінії повинна дорівнювати мінімуму [УУ] = тіп. До того ж обґрунтовано вибираються ваги вимірів кутів та ліній.
Існує два методи строгого зрівноваження (вирівнювання) геодезичних ходів та мереж: корелатний та параметричний. Ці методи детально розглядаються в теорії ймовірностей. Практичне застосування названих методів в геодезії, перш за все в полігонометрії, буде викладено в подальших параграфах.
256
11.8.2. Кількість вимірів та невідомих в полігонометричному ході. Необхідні та надлишкові виміри
Нехай маємо полігонометричний хід, прокладений між "твердими" (відомими) пунктами, показаний на рис. 11.8.1.
уп |
З і |
* |
' |
; |
ук |
|
р, |
|
|
р "4 |
|
Рис. II.8.1. Полігонометричний хід, прокладений між відомими пунктами та |
|||||
|
|
|
дирекційними кутами. |
|
|
У ході виміряно п ліній та (и + 1) кутів. Кутів в ході завжди на один |
|||||
більше, |
ніж ліній, якщо виміряні також і кути Д |
та /?лИ, що межують з |
|||
лініями тріангуляції. Отже, всього вимірів: (п + \) + п = 2п + \. Невідомими є координати пунктів ходу, показаних кружками. їх у ході завжди на одиницю менше, ніж ліній. Невідомих абсцис ХІ - (я -1). Невідомих ординат
Уі - (п - 1) . Всього невідомих (л -1) + (л -1) = 2п - 2.
Знайдемо число надлишкових вимірів: {2и + і}-(2я-2) = 3. Отже в полігонометричному ході, який прокладений між відомими пунктами, завжди є три надлишкових виміри. Вони не є "непотрібними". Саме надлишкові виміри приводять до того, що в ході виникають геометричні умови, про які йшла мова вище. Завжди в ході або мережі кількість умов дорівнює кількості надлишкових вимірів.
Знайдемо, в приведеному ході "надлишкові" виміри, тобто такі виміри, які можна було б не робити, а всі невідомі координати пунктів знайти. Якщо обчислювати координати точок від початкової точки Т т , тоді
знайдемо координати всіх точок, включаючи Хп, Уп точки Рп без вимірів кутів Д,, Д,+1 та лінії 8п. Якщо, навпаки, обчислювати координати точок від кінцевої точки Ткіи, тоді знайдемо координати всіх точок, включаючи Хг, У2 точки Р2 без вимірів кутів /?,, /?2 та ліній
На кінець, можливо частину точок обчислити від початку ходу, а частину - від кінця ходу. Тоді надлишковими будуть, наприклад, два кути й одна лінія, позначених нарис. 11,8.1 хрестиками.
Надлишкові виміри спонукають до контролю вимірів і можливості зрівноваження ходів або мереж. За відсутності "надлишкових" вимірів хід перетворюється в "висячий" (опирається тільки на один відомий пункт), зникає можливість контролю вимірів та зрівноваження ходів. Зрозуміло, що зникають і геометричні умови, що виникають в ході чи мережі.
Тому надлишкові виміри є дуже важливими.
257
11.8.3. Виведення формул, що зв'язують поздовжній та поперечний зсуви ходу з нев'язками по осях координат
На рис. И.8.2 показано витягнутий полігонометричний хід, прокладений між відомими точками А та В.
X X
Рис. И.8.2. До виводу залежності між зсувами / і и та нев'язками по осях координат/х та/у.
Але координати всіх точок ходу, включаючи і точку В, обчислювались не за зрівноваженими, а за виміряними лініями і кутами, починаючи
від точки А. У результаті кінцева точка ходу зайняла положення |
В'. Отже, |
|||||
відрізок В'В -/л це лінійна нев'язка ходу. З'єднаємо точки А та |
В' |
прямою |
||||
(замикаючою) і дещо продовжимо її. Дирекційний |
кут замикаючої а. Ди- |
|||||
рекційний кут нев'язки є. Довжина замикаючої АВ' |
= Ь. Спроектуємо точку |
|||||
В на координатні осі ^та У і на замикаючу. Отримаємо точки Ві, Вг, |
Вг. |
|||||
Як видно з рисунка, відрізки: В'В] = |
ВВ2 = |
/х; |
В'В2 = ВВХ |
= |
/ у . Ці |
|
відрізки рівні нев'язкам /х та / у . Відрізок |
В'Вг - |
і - |
поздовжній |
зсув; а |
||
ВВг = и ~ поперечний зсув. Проектуючи хід на осі X та У, отримаємо суми приростів координат [Ах] та [Ду].
258
Безпосередньо з рисунка, маємо:
З рисунка також можемо записати:
( = |
/,со$(в-ос)) |
и = |
/з$т(є-а)]' |
Розкладаючи с о з ^ - а ) та «іп^- а), отримаємо:
І - |
/ і с о 5 £ с о з а + /,$іп£-5Іпа; |
|
и= |
8ІП Е • С 0 8 О — |
С08 Е • зіп й . |
Враховуючи формулу (II.8.10), маємо: |
||
|
г = /,со8а + /у 8Іпа; |
|
|
и = / СОЇ а - / |
8Іп а . |
Оскільки з цього ж рисунка |
|
|
С 0 8 а = І ^ ] ;
Іи
зіпа = ім-І: и ,
то
, = / |
М |
+ / к І |
||
|
І |
|
у |
ь " |
/ д |
л |
[ |
А ( П 8 1 |
|
у |
ь |
|
|
ь |
и=^ /Гдх]-Л[Ау]
(II.8.9)
(Н.8.10)
(11,8.11)
(П.8.12)
(11.8.13) (И-8.14)
(ІІ.8.15)
(ІІ.8.16)
7 )
(ІІ.8.18)
Формули (ІІ.8.17), (II.8.18) пов'язують зсуви ходу /, и з нев'язками по осях координат / х , .
11.8.4. Виведення умовних рівнянь, що виникають в полігонометричному ході, прокладеному між відомими пунктами
Скористаємось розглянутими в ІІ.8.1 відомими вимогами рівності суми поправок в кути та в прирости координат відповідним нев'язкам, взятим з оберненим знаком.
Ці рівності запишемо так:
259
|
- / л ' ; [ . |
(ІІ.8.20) |
Припустимо, що ми нев'язку |
/ р порівну розподілили |
в усі виміряні |
кути. |
|
|
Нехай виникла необхідність |
у виправлені кути ввести ще якісь |
|
вторинні поправки. Тоді сума цих |
поправок має бути рівною нулеві. У |
|
протилежному випадку в ході з'явиться нова нев'язка. Але, якщо ми змінили виміряні кути Д первинними поправками, то зміняться і дирекційні кути, а отже, зміняться нев'язки /,' та /'у . Одночасно виникне необхідність змінити поправки в прирости абсцис і ординат.
У зв'язку з цим рівняння (ІІ.8.20) змінюються і їх запишемо так:
[с/Д] = 0; |
|
|
|
[</Дх] = - / , ; [ • |
|
(И.8.21) |
|
[<%] = - / , . |
|
|
|
Як відомо, прирости абсцис і ординат знаходяться за |
формулами: |
||
Ах = .УсоБа;] |
|
(ІІ.8.22) |
|
|
Ч . |
|
|
Продиференціюємо ці формули: |
|
|
|
*/Дх = сох оиі8 - |
5 зіп а |
; |
|
|
|
Р |
( І І . 8 . 2 3 ) |
|
|
|
|
сІАу = зіаасі8 + |
8со5а—. |
|
|
|
|
Р |
|
Значення сі&х та сІАу із рівнянь (ІІ.8.23) підставимо в початкові
рівняння (И.8.21), враховуючи (ІІ.8.22). Отримаємо:
[ с о 8 а й К ] - - [ А ^ а ] + /х = 0; |
( И . 8 . 2 4 ) |
|
Р |
|
|
[зіп ОЙК]+-[Дх<Л*]+ / |
= 0 |
|
Р |
|
|
Перейдемо від поправок в дирекційні |
кути і/а, |
д о поправок у вимі- |
ряні кути Щ . Для цього скористаємося залежністю між дирекційними ку-
тами та кутами повороту. Припустимо, вимірялись ліві п о х о д у кути. Тоді можемо записати:
260
а , = « і + Х А - 1 8 0 ( і + 1). |
(Н.8.25) |
і
Диференціюючи формулу (ІІ.8.25) за змінними кутами, отримаємо:
(11.8.26)
і
Підставимо значення <іаі з (11.8.26) в рівняння (II.8.24). Отримаємо:
|
[соз « / $ ] - — Д у І |
V |
+ Л = 0 ; |
|
(ІІ.8.27) |
||||
|
|
|
Р |
і |
|
|
|
|
|
|
[8Іпскй]+ — А х & Р |
+ Л = 0 ; |
|
|
|||||
|
|
|
|
і |
|
|
|
|
|
Позначимо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А= |
Ауіар |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
(11.8.28) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ах^сір |
|
|
|
|
|
Запишемо суму А в розгорнутому вигляді: |
|
|
|||||||
А = Ау^ар |
= Ду^Л + Ду2(ЛД + <%)+Ау^Ру + йРг + |
й^л |
|||||||
|
+ |
+ |
|
+ |
+ |
|
+ ... +<//?„) |
|
|
Згрупуємо члени з Щ, |
сірг, |
|
сірз,сірп: |
|
|
||||
А = гірх{Ау1+Ау2 |
+ Ауі+... |
+ Ау„)+сір2{Ау2 + Ау} |
+ ... + Ауп)+ |
||||||
+ сірі(Ауі |
+ Ду4..- + |
Ду„)+... + <іРпАуп. |
|
|
|||||
Замінимо суми приростів ординат різницями координат відповідних |
|||||||||
точок: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А = арх (?я+1 -Уі)+ар2 |
{Уп+] -у2)+арГ(УП+1 |
- Уі)+...+сірп(уп^ |
- уп\ |
||||||
В останній |
сумі |
відсутній |
кут |
Д,+1 |
і поправка |
<1р^х. |
Введемо цю |
||
поправку, скориставшись виразом, що дорівнює нулеві: сіРп^[уп+\ -у„+і)- Цей вираз додамо до А. Тоді останній вираз можемо записати скорочено:
Л = |
|
(ІІ.8.29) |
Введемо в рівняння (ІІ.8.29) ординату центру ваги ходу: |
|
|
Гц~'п |
+ \ |
(ІІ.8.30) |
|
||
261