Застосування лінійної алгебри у задачах економіки.

Балансовий аналіз

Мета балансового аналізу – відповісти на питання, що виникає в макроекономіці і пов’язане з ефективністю ведення багатогалузевого господарства: яким має бути обсяг виробництва кожної галузі, щоб задовольнити всі потреби в продукції цієї галузі. Ефективне ведення багатогалузевого господарства вимагає наявності балансу між окремими галузями.

Модель міжгалузевого балансу Леонтьєва

Нехай виробничий сектор народного господарства розбито на n «чистих» галузей. Чиста галузь (умовне поняття) – це галузь, яка виробляє тільки свій однорідний продукт, причому різні галузі виробляють різні продукти. Продукція кожної галузі частково може використовуватись іншими галузями (як сировина, деталі, напівфабрикати), частково перероблюватись самою галуззю. Виробничий процес будемо розглядати за деякий проміжок часу [Т₀,Т₁,] (звичайно таким проміжком є плановий рік).

Використаємо такі позначення:

x_i (і=1,2,...,п) – загальний обсяг продукції (валовий випуск) і-тої галузі за даний проміжок часу;

x_ij (і,j=1,2,...,п) – кількість продукції i-тої галузі, що використовується у процесі виробництва продукції j-ї галузі (x_ii – кількість продукції i-тої галузі, використаної в тій самій галузі);

y_{i –} обсяг продукції i-тої галузі, призначений для реалізації у невиробничій сфері (кінцевий продукт). Зазвичай, цей обсяг складає більше 75% усієї виробленої продукції, до нього належать створювані у господарстві резерви, особисте споживання громадян, забезпечення громадських потреб (освіта, наука, охорона здоров’я, розвиток інфраструктури тощо), експортні поставки..

Розподіл продукції кожної галузі можна описати за допомоги таблиці 1, яку називають таблицею міжгалузевих зв’язків.

Таблиця 1.

ТАБЛИЦЯ МІЖГАЛУЗЕВИХ ЗВ’ЯЗКІВ

Галузь матеріального виробництва	Обсяг валової продукції	Міжгалузеві потоки в галузі 1 2 ... n	Кінцевий продукт
1	x1	x11 x12 … x1n	y1
2	x2	x21 x22 … x2n	y2
…	…	… … … …	…
n	xn	xn1 xn2 … xnn	yn

Оскільки валовий обсяг продукції будь-якої галузі x_i (і=1,2,...,п) витрачається на виробниче споживання, що дорівнює х_i1 +х_і2 + … + х_іп і кінцевий продукт у_і, то можна записати такі співвідношення:

x₁= x₁₁+ x₁₂+...+ x_1n+y₁,

_{...........................................................}, (3.1)

x_n=x_n1 + x_n2 +…+ x_nn+ y_n,

кожне з яких виявляє баланс міжгалузевих зв’язків виробництва.

Одиниці вимірювання всіх зазначених величин можуть бути або натуральні (кубометри, тонни, штуки тощо), або вартісні. Залежно від цього розрізняють натуральний і вартісний міжгалузеві баланси. Для визначеності будемо розглядати вартісний баланс.

В. Леонтьєв, вивчаючи розвиток американської економіки у довоєнний період, звернув увагу на те, що величини , які дорівнюють кількості продукції і-тої галузі, використаної на виробництво одиниці продукції j-ї галузі, залишаються майже незмінними протягом кількох років. Цей факт зумовлюється тим, що технологія виробництва залишається на одному і тому ж рівні доволі довгий проміжок часу. Отже, для випуску будь-якого обсягу x_i продукції j-ї галузі необхідно витратити продукції i-тої галузі у кількості а_ijx_j, тобто матеріальні витрати пропорційні обсягу валового випуску:

x_ij = а_ij x_j, i,j=1,n (3.2)

Коефіцієнти (3.3)

називають коефіцієнти прямих витрат. У вартісному виразі а_ij є вартість продукції і-тої галузі, вкладеної в 1 грош. од. продукції j-ї галузі. Тепер, внаслідок лінійності, співвідношення (3.1) набувають вираження:

x₁= а₁₁ x₁+ а₁₂x₂+...+ а_1n x_n+y₁,

x₂= а₂₁ x₁+ а₂₂x₂+...+ а_2n x_n+y₂,

_{..............................................................................} (3.4)

x_n= а_n1x₁ + а_n2x₂ +…+а_nnx_n+ y_n,

або у матричному вигляді

X=AX+Y, (3.5)

де – матриця (вектор) валового продукту,– вектор кінцевого продукту.

Матрицю

(3.6)

називають матрицею прямих витрат, або технологічною матрицею п-галузевої економіки. Для незмінної технології виробництва матриця прямих витрат стала і завжди відома на запланований період.

Співвідношення (3.5) називають рівнянням лінійного міжгалузевого балансу.

Основна задача міжгалузевого балансу полягає у знаходженні вектора валового випуску X, який для відомої матриці прямих витрат А забезпечує заданий вектор кінцевого продукту Y.

З рівняння (3.5) одержимо

(E–A) ^. X=Y (3.7)

Якщо матриця (Е-А) невироджена, тобто |Е-А|0, то існує єдине розв’язання матричного рівняння (3.7):

X=(Е-А)^{-1 .} Y, (3.8)

де X – вектор валового випуску, Е – одинична матриця, А – матриця прямих витрат, Y – вектор кінцевого продукту.

Таким чином, суть методу Леонтьєва полягає у визначенні валового випуску галузей за заданим кінцевим попитом на основі даних про технологічні можливості, що втілені у коефіцієнтах а_ij

За цими ж рівняннями можна розв’язати і обернену задачу: за заданими валовими випусками визначити обсяг кінцевого попиту у_i на кожний продукт.

Приклад 3.1. Нехай, наприклад, є три взаємопов’язані галузі. Таблиця міжгалузевих зв’язків (табл. 2) містить дані балансу трьох галузей промисловості за деякий період (умов. грош. од.). Треба знайти необхідний обсяг валового випуску продукції кожної галузі, якщо кінцевий продукт споживання по галузях збільшити відповідно до 200, 70, 100 одиниць.

Таблиця 2.

Теоретичний матеріал

Припустимо, що запланований обсяг виробництва продукції кожної галузі має такі позначення:

Y₁ – запланований обсяг виробництва продукції енергетики, млн грн,

Y₂ – запланований обсяг виробництва продукції металургії, млн грн,

Y₃ – запланований обсяг виробництва продукції машинобудування млн. грн

Крім того, а_ij – матриця безпосередніх витрат, тобто кількість продукції i‑го виду, необхідної для випуску одиниці продукції j-го виду, наприклад

а₁₁ – кількість електроенергії, необхідної для виробництва одиниці електроенергії;

а₁₂ – кількість електроенергії, необхідної для виробництва одиниці продукції в металургії;

а₁₃ – кількість електроенергії, необхідної для виробництва одиниці продукції в машинобудуванні.

Треба визначити, який необхідний валовий обсяг виробництва продукції кожного виду X₁ – енергетики, млн грн, X₂ – металургії, млн грн, X₃ – машинобудування, млн грн

Згідно з моделлю багатогалузевої економіки Леонтьєва, розв’язання можна одержати за формулою:

X=(Е-А)^{-1 .} Y,

де X – вектор валового випуску, Е – одинична матриця, А – матриця прямих витрат, Y – вектор кінцевого продукту.

Суть методу Леонтьєва полягає у визначенні валового випуску галузей за заданим кінцевим попитом на основі даних про технологічні можливості, що втілені у коефіцієнтах а_ij. Докладніше про одержання формули див. у [7, с.126-133].

Комп’ютерна технологія знаходження необхідного обсягу валового випуску продукції кожної галузі:

Розв’язання задачі у системі MS Excel реалізується таким чином:

1. Створити табличну модель для розрахунків засобами MS Excel (рис. 3.25.).

Рис. 3.25.

2. Знайти матрицю прямих витрат, користуючись формулою для коефіцієнтів прямих витрат:

,

де x_ij – обсяг продукції i-ої галузі, який споживає j-а галузь в процесі виробництва; x_j – валовий обсяг продукції i-ої галузі. Матриця прямих витрат А має вигляд:

3. Знайти одиничну матрицю Е. Оберненою до матриці А називають матрицю А ^- 1, добуток якої на матрицю А дорівнює одиничній матриці:

А^-1 · А=Е

4. Обчислити різницю матриць (Е-А), де Е – одинична матриця, А – матриця прямих витрат.

5. Обчислити обернену матрицю повних витрат (Е – А)^-1.

6. Згідно з моделлю багатогалузевої економіки Леонтьєва, рішення одержуємо за формулою:

X = (Е – А)^-1 · Y,

де X – вектор валового випуску, Е – одинична матриця, А – матриця прямих витрат, Y – вектор кінцевого продукту. Результат обчислення вектора валового випуску Х (рис. 3.26.):

Дані про виконання міжгалузевого балансу за звітний період

Рис. 3.26.

7. Висновок. Отже, валовий випуск у першій галузі треба збільшити на 101,39 ум. од., у другій галузі – на 32,39 ум. од., у третій галузі – на 36,33 ум. од.