5. Розв'язок типових задач.

Вправа1: Побудувати площину.

Розв'язання:

Зведемо дане рівняння до рівняння площини у «відрізках». Для цього перенесемо вільний член в протилежну сторону та поділимо ліву і праву частини рівняння на 32 (для того, щоб в правій частині отримати 1). Отже,

Отримали точки перетину з координатними вісями:

зОх:; зОу: ; зOz: . Будуємо отриману площину:

Вправа 2: Дано точки. Написати рівняння площини, що проходить через ці точки паралельно вектору.

Розв'язання:

Для того, щоб точка М(х; у; z) необхідно і достатньо, щоб векторибули компланарні, тобтоабо в координатній формі:

.

Отже отримали рівняння шуканої площини:

Відповідь:

Вправа 3:Написати рівняння площини, що проходить через точкуперпендикулярно вектору.

Розв'язання:

Нехай М(х; у; z) довільна точка шуканої площини.

Враховуючи початкові умови вектор можна враховувати за вектор нормалі шуканої площини і скористатись загальним виглядом рівняння площини в координатній формі:

;

;

- рівняння шуканої площини, яка паралельна координатній вісіОу.

Відповідь:

Тема 2. Взаємне розміщення площин.

Зміст:

1. Відстань від точки до площин.

2. Кут між площинами. Умова паралельності й перпендикулярності двох площин.

3. Розв'язок типових задач.

1. Відстань від точки до площини.

Означення:Відстанню від точки до площини називають довжину перпендикуляра, опущеного з цієї точки на площину.

Теорема: Відстань від точкидо площини:становить

( рис. 1.) (1)

Доведення:

Точка - проекція точки М на площину- належить площині. Тому.

Вектори колінеарні, тому координати цих векторів пропорційні, тобто.

З даного рівняння отримуємо ,.

Отриманні значення підставимо у рівняння , отримаємо

звідки знайдемо.

Отже, маючи координати точки ізнайдемо відстань між точками:

Приклад: Знайти відстань точки від площини.

Розв’язання: Згідно формули(1) маємо,

Отже, шукана відстань точки від площини дорівнює 5 лін.од.

Відповідь: 5 лін. од.

2. Кут між площинами. Умова паралельності й перпендикулярності площин.

Означення: Кутом між площинами називають нетупий кут між векторами нормалей цих площин.

Нехай дві площини задані загальними рівняннями:

Двогранний кут між двома площинами вимірюється лінійним кутом, який, як випливає з відомої теореми з елементарної геометрії, дорівнює кутові між векторами нормалейзаданих площин.

Тоді, згідно формули обчислення кута між векторами маємо,

(2) формула обчислення кута в векторній формі.

Запишемо дану формулу в координатній формі:

, визначимо косинус кута між двома площинами через коефіцієнтами їх загальних рівнянь:

(3) формула обчислення кута між площинами в координатній формі.

УМОВА ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТІ ДВОХ ПЛОЩИН

Умова перпендикулярності двох площин рівносильна умові перпендикулярності векторів . Вона має вигляд:.

УМОВА ПАРАЛЕЛЬНОСТІ ДВОХ ПЛОЩИН

Умова паралельності двох площин рівносильна паралельності векторів нормалі, тобто пропорційності координат даних векторів, тобто.

3. Розв'язок типових задач.

Вправа 1:Обчислити кут між площинами.

Розв'язання:

Кут між площинами визначається як кут між векторами нормалей даних площин.

Відповідь:

Вправа 2: Через дві точкипровести(знайти рівняння площини)площину під кутомдо площини.

Розв'язання :

Так як шукана площина проходить через т. то її рівняння в координатній формі можливо записати. За умовою задачі цій площині належить і точка, томуабо.Причому, ця площина утворює з площиноюкут, а це позначає, що

або

. Отримали систему:

Розв’язком системи буде наприклад, , звідки отримаємо

Знайдемо вільний член D поклавшиС=-1:

Згідно знайденим значенням коефіцієнтів А, В, С, D запишемо рівняння шуканої площини:

.

Відповідь:

Вправа 3:Знайти відстань між площинамиі

Розв'язання:

Так як координати векторів нормалей обох площин пропорційні , то дані площини паралельні.. Тому досить взяту довільну точку однієї площини і знайти відстань від даної точки то іншої площини.

Нехай - довільна точка першої площини(дві координати беруться довільно, третя знаходиться з рівняння, яке задає першу площину),. Тоді шукану відстань знайдемо за формулою

Отже, відстань між двома паралельними площинами дорівнює 4 лін. од.

Відповідь: 4 лін.од.

Вправа 4: Знайти косинус гострого кута між площинами

Розв'язання:

Кут між площинами згідно означенню, це є кут між векторами нормалей даних площин. Тому так як вектор нормалі першої площини, а- вектор нормалі іншої площини, то можемо записати:

Відповідь:

Вправа 5: Знайти відстань від точкидо площини

Розв'язання:

Згідно формули (1)маємо:

Відповідь: 3 лін. од.