Аналітична геометрія у просторі.

Тема 1 : Площина. Види рівнянь.

Зміст:

1. Загальне рівняння площини. Рівняння площини, що проходить через відому точку і перпендикулярна до заданого вектора.

2. Рівняння площини „у відрізках”.

3. Рівняння площини, що проходить через три точки.

4. Нормальне рівняння площини.

5. Розв'язок типових задач.

1. Загальне рівняння площини. Рівняння площини, що проходить через відому точку і перпендикулярна до заданого вектора

Нехай задані де вартова система координат Охуz і рівняння першого степеня.

Тоді справедлива теорема:

Теорема: Кожна площина може бути виражена лінійним рівнянням відносно вибраної декартової системи координат у просторі і навпаки, кожне лінійне рівняння відносно декартової системи координат у просторі виражає площину.

Іншими словами – площина є єдиною поверхнею першого порядку.

Дійсно, нехай- довільна площина;

- одна з її точок;

- перпендикулярний до неї вектор;

Тоді, якщо точка належить площині, то векториібудуть перпендикулярні.

Це позначає, що скалярний добуток даних векторів дорівнює нулю. Тобто:

(1)–рівняння площини у векторній формі.

Виведемо рівняння площини, що проходить через задану точку і перпендикулярно для заданого вектора в координатній формі:

Перпендикулярність векторів ів координатній формі позначає:

-(2) - рівняння шуканої прямої в координатній формі

Розкриємо дужки : і позначивши черезотримаємо загальне рівняння площини:

(3) - рівняння площини в загальному вигляд, де - векторїї нормалі або нормальний вектор

2. Рівняння площини „у відрізках”

Якщо всі коефіцієнти А, В, С і Dто загальне рівняння(3) можна записати у вигляді:

і позначимо через.

Тоді рівняння площини прийме вигляд: (4)

Розглянемо геометричний зміст чисел a, b, c:

Знайдемо точки перетину даної площини з координатними осями:

Ох: . Рівняння приймає вигляд:. Тобто точка

Оу: Рівняння приймає вигляд:. Тобто точка

Oz: Рівняння приймає вигляд:. Тобто точка

Отже, точки ,,- шукані точки перетину площини з координатними віссями, причому числаa, b, c – величини відрізків, які відтинає площина на осях Ох, Оу, Оz.

Тому, рівняння(4)називають рівнянням площини у «відрізках»

Приклад: Знайти точки перетину площиниз осями координат.

Розв'язання:

Запишемо дане рівняння площини у «відрізках». Для цього поділимо ліву і праву на вільний член - 24:

Отже, дана площина перетинає координатні вісі Ох, Оу, Оzвідповідно у точках,,

3. Рівняння площини, що проходить через три точки.

З курсу геометрії відомо, що площину однозначно можливо задати трьома точками.

Отже, нехай площина задана трьома своїми точками,,, які не лежать на одній прямій. Точка- довільна точка шуканої площини. Тоді, вектори- компланарні вектори, а тому їх мішаний добуток дорівнює нулю. В векторній формі, це має вигляд:або в координатній формі:

(5) – рівняння площини, що проходить через три точки.

Приклад: Скласти рівняння площини, що проходить через точки,.

Розв'язання:

Нехай, - довільна точка шуканої площини. За рівнянням(5) маємо:

або

Отже, шукане рівняння площини, яка проходить через три задані точки має вигляд:

.

Відповідь:

4. Нормальне рівняння площини

Нехай в просторі задана площина, яка визначається відстанню р від початку координат, тобто -- довжиною перпендикуляра, опущеного з початку координат на площину, і напрямом цього перпендикуляра, тобто кутами, які він утворює з додатними напрямами осей системи координат. Одиничний вектор нормалі даної площини буде мати координати

2. ;- довільна точка шуканої площини.

3. Знайдемо проекцію вектора на вектор нормалі площини, на вектор:

. З іншого боку.

Порівнюючи два останніх вирази можемо записати для проекції вектора рівняння

(6) – нормальне рівняння площини в векторній формі

(7)–нормальне рівняння площини в координатній формі

Алгоритм зведення загального рівняння площини до нормального:

4. Потрібно помножити всі коефіцієнти загального рівняння площинина множник(нормувальний множник рівняння);

5. Знак нормувального множника вибрати так, щоб він був протилежний до вільного члена рівняння площини D.

6. Загальне рівняння прийме вигляд: (8), яке називаєтьсянормальним рівнянням площини.

Приклад: Звести до нормального вигляду рівняння площини .

Розв'язання:

За алгоритмом і формулою (8)можемо записати:

Отже, - шукане рівняння площини, де