Практична робота № 2. Редукування трикутника тріангуляції з поверхні Землі на поверхню референц-еліпсоїда.

Виміряні на поверхні Землі елементи геодезичної мережі (довжини сторін, горизонтальні напрямки та вертикальні кути, прискорення сили ваги) редукують на поверхню прийнятого референц-еліпсоїда по нормалях (згідно методу проектування, запропонованого проф. Красовським). Теорію переходу від виміряних на земній поверхні величин до відповідних їм величин на поверхні референц-еліпсоїда називають редукційною задачею геодезії.

а – редукція лінійних вимірів	б – редукція горизонтальних напрямків
Рис.2 Редукція елементів трикутника тріангуляції з поверхні Землі на поверхню референц-еліпсоїда.

Розв’язуючи дану задачу, необхідно виконати наступні дії:

1. Редукування довжини сторони трикутника – виміряної похилої віддалі між пунктами і земної поверхні на поверхню референц-еліпсоїда по нормалях (рис.2, а):

   1. Обчислення довжини хорди , що з’єднує точки і  – проекції точок і на поверхню референц-еліпсоїда.

   2. Перехід від хорди до довжини дуги на поверхні референц-еліпсоїда.

2. Редукування виміряних кутів. У кожний виміряний на земній поверхні горизонтальний напрям, попередньо приведений до центрів знаків, повинні бути введені наступні поправки:

   1. Поправка за перехід від прямовисної лінії, по якій встановлюються геодезичні та астрономічні прилади при вимірюваннях і спостереженнях, до нормалі до поверхні референц-еліпсоїда. Після її введення одержуємо напрям нормального перерізу, утвореного площиною, що проходить через візирну ціль.

   2. Поправка за висоту візирної цілі над поверхнею референц-еліпсоїда. Ця поправка забезпечує перехід до прямого нормального перерізу, утвореного площиною, що проходить через проекцію (по нормалі) центра знаку візування на референц-еліпсоїд. Дана редукція зумовлена тим, що нормалі до еліпсоїда у загальному випадку є перехресними прямими, тому проекція пункту, що спостерігається, на референц-еліпсоїд по нормалі не лежить у площині, що включає нормаль до пункту спостереження та виміряний напрям. Після введення вказаних поправок у виміряні горизонтальні напрями отримаємо на поверхні референц-еліпсоїда кут між прямими нормальними перерізами та з точки на точки і (рис.2, б). Оскільки точки на поверхні еліпсоїда з’єднуються геодезичними лініями, то необхідно перейти від напрямів прямих нормальних перерізів до напрямів геодезичних ліній.

   3. Поправка за перехід від нормальних перетинів до геодезичних ліній, якими з’єднуються пункти на поверхні референц-еліпсоїда.

Рис.3. Трикутник тріангуляції 2-го класу, який підлягає редукуванню на еліпсоїд.

Завдання 1. Спроектувати виміряну похилу віддаль між пунктами тріангуляції і на поверхню референц-еліпсоїда Красовського по нормалях.

Вихідні дані: геодезичні широта і висота вершин і трикутника тріангуляції 2 класу, довжина виміряної похилої віддалі , геодезичний азимут .

Пункти	Геодезичні координати		Геодезичний азимут,	Виміряна похила віддаль, , м
		, м
	35°45'	652,3	158°43,6'+30'n	43 371,25+100n
	35°29'	745,9

Послідовність розв’язання задачі

1. Обчислення поправки за нахил лінії :

.

2. Обчислення поправки за висоту:

,

де – середній радіус кривини еліпсоїда вздовж даної лінії

,

де і  – середні значення висоти і широти даної лінії.

Довжина хорди визначається за формулою:

.

Для контролю довжину хорди обчислюють за формулою:

.

Довжину дуги обчислюють за формулою:

.

Наведені вище формули можна використовувати для редукування відстаней до сотні кілометрів.

Числовий приклад для нульового варіанту

Вихідні дані:

№ пунктів	Геодезичні координати		Геодезичний азимут,	Виміряна похила віддаль, , м
		, м
1	35°45'	652,3	158°43,6'	43 371,252
3	35°29'	745,9

Розв’язання задачі

, м	-0,1010
, м	699,1
	35°37'
, м	6 360 984,8020
, м	-4,7662
, м	43 366,3828
, м, контрольне	43 366,3828
, м	43 366,467

Завдання 2. Редукувати виміряні на земній поверхні кути трикутника тріангуляції 2 класу на референц-еліпсоїд Красовського.

Вихідні дані: геодезичні широта і висота вершин і трикутника тріангуляції 2 класу, значення складових астрономо-геодезичних відхилень прямовисних ліній і у точці встановлення приладу, довжини сторін трикутника , геодезичні азимути та виміряні астрономічні зенітні віддалі спостережуваних напрямків.

Номер пункту	Геодезичні координати		Складові відхилень прямовисних ліній
		, м
	35°45'	652,3	+5,34"	-0,25"
	35°25'	845,4	-5,41"	+12,15"
	35°29'	745,9	-15,36"	+5,91"

Пункт	Номер напрямку	, км			Виміряні кути, 
		38,91	200°05,8'	89°53,5'	41°23'02,1"-30'n
		43,37+0,1n	158°43,6'+30'n	90°04,4'
		44,50	66°37,5'	90°19,6'	46°30'23,8"
		38,91	20°05,8'	90°27,5'
		43,37+0,1n	338°43,6'+30'n	89°18,8'	92°06'39,7"+30'n
		44,50	246°37,5'	90°04,3'

Послідовність розв’язання задачі

1. Обчислення поправки за відхилення прямовисної лінії від нормалі для напрямку за формулою:

.

2. Обчислення поправки за висоту візирної цілі , яка спостерігається з пункту , над поверхнею референц-еліпсоїда за формулою:

,

де  – радіус кривини меридіана на широті .

3. Обчислення поправки для пункту спостереження за перехід від нормальних перетинів до геодезичних ліній за формулою:

,

де – радіус кривини першого вертикалу на широті . Ця формула використовується при км і .

Всі поправки обчислюють для кожного напрямку з точністю до 0,001".

Обчислення суми поправок для кожного напрямку:

.

4. Обчислення поправок у кожний кут:

,

обчислення значень редукованих на поверхню референц-еліпсоїда кутів:

.

5. Обчислення сферичного надлишку за значеннями редукованих кутів та нев’язки трикутника. Сферичний надлишок обчислюється за формулою:

,

де – середній радіус кривини еліпсоїда, обчислений на середній широті лінії .

Нев’язка трикутника обчислюється за формулою:

.

Числовий приклад для нульового варіанту

Вихідні дані:

Пункти	Геодезичні координати		Складові відхилень прямовисних ліній
		, м
	35°45'	652,3	+5,34"	-0,25"
	35°25'	845,4	-5,41"	+12,15"
	35°29'	745,9	-15,36"	+5,91"

Пункти	Номер напрямку	, км			Виміряні кути, 
		38,91	200°05,8'	89°53,5'	41°23'02,1"
		43,37	158°43,6'	90°04,4'
		44,50	66°37,5'	90°19,6'	46°30'23,8"
		38,91	20°05,8'	90°27,5'
		43,37	338°43,6'	89°18,8'	92°06'39,7"
		44,50	246°37,5'	90°04,3'

Розв’язання задачі

1. Обчислення поправки за відхилення прямовисних ліній.

Пункти	Відхилення виска,  і 	Спостережуваний напрямок
	+5,34"		200°05,8'	89°53,5'	+0,004"
	-0,25"		158°43,6'	90°04,4'	+0,002"
	-5,41"		66°37,5'	90°19,6'	-0,056"
	+12,15"		20°05,8'	90°27,5'	-0,106"
	-15,36"		338°43,6'	89°18,8'	-0,001"
	+5,91"		246°37,5'	90°04,3'	+0,021"