Laboratornye / Механика_PDF / Лабораторна робота 02
.pdf
Лабораторна робота № 2
ВИЗНАЧЕННЯ МОМЕНТУ ІНЕРЦІЇ ТА ПЕРЕВІРКА ТЕОРЕМИ ШТЕЙНЕРА МЕТОДОМ КРУТИЛЬНИХ КОЛИВАНЬ
Мета роботи. 1. Експериментально визначити момент інерції платформи та тіл правильної геометричної форми за допомогою трифілярного підвісу, а також експериментально перевірити теорему Штейнера.
2. Порівняти експериментальні дані з теоретичними обчисленнями.
2.1. Теорія методу та опис приладів
Робота виконується на трифілярному підвісі (рис. 2.1), який складається з верхньої та нижньої платформ. Верхня платформа радіуса r закріплена нерухомо. Нижня платформа підвішена на трьох симетрично розміщених по вершинах рівнобічного трикутника нитках до верхньої платформи і може здійснювати крутильні коливання навколо вертикальної осі, яка перпендикулярна до її площини і проходить через її центр. Радіус нижньої платформи R, її маса — m0 .
Центр мас платформи при крутильних коливаннях переміщується вздовж осі обертання.
Період крутильних коливань визначається величиною моменту інерції платформи та тіл, які розташовуються на ній. Саме цю властивість і використано в даній роботі для знаходження моменту інерції.
При повороті платформи масою m0 |
в одному напрямку вона підніметься на |
|
висоту h, тоді приріст її потенціальної енергії буде рівний: |
|
|
ЕП m0 gh . |
(2.1) |
|
Після того як платформа буде |
відпущена, вона почне |
обертатися в |
протилежному напрямку й прийде в положення рівноваги з кінетичною енергією:
|
|
|
I 2 |
|
|
|
E |
|
0 0 |
, |
(2.2) |
||
K |
2 |
|||||
|
|
|||||
|
|
|
|
|
де І0 — момент інерції платформи; ω0 — кутова швидкість платформи в момент проходження положення рівноваги. За законом збереження механічної енергії (нехтуючи роботою сил тертя) можна записати:
m0 gh |
I |
2 |
|
|
0 |
0 |
. |
(2.3) |
|
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
За відсутності зовнішніх сил, які діють на трифілярний підвіс, і малих кутах відхилення від рівноважного положення платформа коливається за гармонічним
законом з кутовим зміщенням φ, яке залежить від часу так: |
|
|||
0 sin |
2 |
t , |
(2.4) |
|
T |
||||
|
|
|
||
де Т — період коливань. Тоді кутова швидкість ω може бути знайдена як перша похідна від φ:
|
d |
|
2 0 |
cos |
2 |
t . |
(2.5) |
|
dt |
T |
T |
||||||
|
|
|
|
|
У момент проходження платформи через положення рівноваги t 0, 1 T ,T , 3 T
2 2
абсолютне значення m ax 0 ,
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
2 0 |
. |
|
|
|
(2.6) |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
На основі виразів (2.3) і (2.6) матимемо: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
gh |
|
1 |
|
|
|
|
2 |
0 |
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
m |
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
0 |
|
|
T |
|
|
. |
(2.7) |
|
|
|||||||||||
Для визначення І0 необхідно виразити висоту через параметри: радіус верхньої |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
платформи r, радіус нижньої платформи R, довжину нитки підвісу L. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Висота h, на яку підніметься диск при повороті на кут φ0, дорівнює: |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
h2 , або h |
|
h2 |
h2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
h h1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
. |
(2.8) |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h1 h2 |
|
|
|
|||||||||
h12 L2 R r 2 ; h22 |
L2 |
AB 2 |
L2 |
R 2 r 2 2Rr cos 0 . |
|
||||||||||||||||||||||||||||
Можна вважати, що h h |
2L |
, |
тоді, |
підставивши в (2.8) |
значення h |
1 |
і h , |
||||||||||||||||||||||||||
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
матимемо: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4Rr sin 2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2L |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
(2.9) |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
|
0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Через те, що кут φ0 малий, sin |
|
|
|
|
0 |
|
; отже, |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
Rr 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
. |
|
|
|
|
|
(2.10) |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2L |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Підставляючи в (2.7) значення h, і виключивши звідси φ0 одержимо такий вираз |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
для визначення моменту інерції: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
m |
0 |
gRr |
T |
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.11) |
|
|
||||||||||
|
0 |
|
|
4 |
|
2 |
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Одержаний вираз для I і є робочою формулою даної роботи. Якщо на платформі
розміщено тверде тіло з масою m, так що центр маси його збігається з віссю обертання платформи, момент інерції такої системи буде рівний:
|
|
|
I1 |
m m0 |
gRr |
T |
2 |
, |
(2.12) |
|
|
|
|
4 |
2 |
L |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
де I1 |
I 0 |
I 2 |
. Тут I — момент інерції тіла масою m. |
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Література
1. Гершензон Е.М., Малов Н.М. Курс общей физики. Механика. — М.: Просвещение, 1987. —С. 121 - 129.
2.Архангельский М.М. Курс общей физики. Механика. — М: Просвещение,
1975. —С. 169 - 190.
3.Фізичний практикум / Під ред. В.П.Дущенка. — К.: Вища школа, 1981. —
Ч.І. — С. 88 - 91.
4.Физический практикум / Под ред. В.И.Ивероновой. — М.: Наука, 1967.—
Ч.І. — С. 95 - 98.
2.2. Практичне виконання роботи Прилади, обладнання
1. |
Трифілярний підвіс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
1 |
шт. |
|
2. |
Секундомір . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
1 |
шт. |
|
3. |
Рулетка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
1 |
шт. |
|
4. |
Штангенциркуль . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
1 |
шт. |
|
5. |
Набір твердих тіл правильної форми для визначення моменту інерції та |
1 |
компл. |
|
перевірки теореми Штейнера |
||||
|
|
|
Завдання для виконання роботи
1.Визначити момент інерції платформи.
2.Визначити момент інерції тіла правильної форми на установці та порівняти з обчисленим теоретично.
3.Перевірити теорему Штейнера.
Вимірювання та обробка результатів
1.Виміряти параметри установки: довжину нитки підвісу L, радіус верхньої
платформи r, радіус нижньої платформи R та масу платформи m0.
2. Привести систему в коливальний рух шляхом повороту нижньої платформи на невеликий кут (φ0 = 3 ÷ 5°) і виміряти секундоміром час 20 - 30 повних
коливань; визначити період Т коливання T nt .
3.Підрахувати за формулою (2.11) момент інерції I0 ненавантаженої
платформи.
4.Покласти на нижню платформу тіло маси m, момент інерції якого потрібно визначити, так, щоб їх центри мас співпадали.
5.Виміряти період коливання платформи з тілом, так як в пункті 2.
6.Підрахувати момент інерції системи I1 за формулою (2.12) та знайти
момент інерції тіла I 2 I1 I0 .
7.Обчислити теоретично момент інерції тіла, попередньо визначивши його масу та розміри. Порівняти результат з визначеним експериментально.
8.Для перевірки теореми Штейнера необхідно розмістити два циліндри
однакових розмірів і мас m1, у центрі платформи, поставивши їх один на другий (рис. 2.2, а) і виміряти період коливань такої системи.
9. Користуючись обчислити момент інерції
загальну масу її m2 m0
інерції циліндрів I 2' I 2 I 0 .
10. Розмістити два циліндри, що і в пункті 8, симетрично відносно центра платформи вздовж її діаметра (рис. 2.2, б) на віддалі d, яку виміряти штангенциркулем. Привівши систему в коливальний рух, визначити період її коливання.
11.Обчислити момент інерції циліндрів
без платформи I3' та перевірити теорему Штейнера шляхом рівності I3' та I3'', яке рівне I2' + 2md2.
12.Вивести формули для підрахунку похибок та підрахувати похибки за даними формулами.
13.Результати вимірювань та обчислень занести у звітні таблиці. Таблиці скласти самостійно.
14.Зробити висновки з теоретичних та експериментальних досліджень.
2.3. Тестові завдання та контрольні запитання для визначення ступеня готовності до виконання роботи та її захисту
1.Що називається моментом інерції? Який його фізичний зміст?
2.У чому суть теореми Штейнера?
3.Які закони використовуються в даній роботі? Сформулювати їх.
4.Як знайти кінетичну енергію обертового твердого тіла?
5.Які коливання здійснює платформа? Записати рівняння коливань.
6.Яке призначення верхнього диска?
7.Які коливання називаються крутильними?
8.Як теоретично знайти момент інерції тіла правильної форми?
9.Чому для перевірки теореми Штейнера беруть два циліндри?
10.Вивести робочі формули.