
- •Математический анализ (Часть I)
- •Оглавление введение Правила оформления контрольной работы
- •Порядок выполнения контрольной работы для всех специальностей и форм обучения
- •Задания контрольной работы
- •Пределы
- •Исследование функции на непрерывность
- •Определённый интеграл
- •Задания с экономическим содержанием
- •Образцы решения заданий контрольной работы
- •Приложение
Задания с экономическим содержанием
Указание: вместоnподставить номер вашего варианта.
Задание
48. Функции
спроса и предложения на некоторый товар
на рынке описываются зависимостями
вида:.
Найти:
наибольшую равновесную цену
;
пределы отношений спроса и предложения, характеризующие различные изменения ситуации на рынке:
;
эластичность спроса на товар в точке равновесной цены
.
Задание
49. Пусть
количество реализованного товара, при
этом функции
затрат и дохода описываются
зависимостями вида:
.
Определить:
средние и предельные издержки при
;
найти максимум прибыли:
.
Образцы решения заданий контрольной работы
Задание
1. Доказать,что ,указать
.
Доказательство:
Согласно
определению предела числовой
последовательности необходимо для
любого
найти номер
такой, что при любых
выполнялось неравенство
.
Рассмотрим
модель
.
Так
как
можно записать цепочку неравенств
.
То
есть, поскольку нам не требуется найти
наименьшее
,
можно записать
,
откуда
и в этом случае
—
целая часть числа
.
Итак,
получается, что при
выполнено неравенство
,
что и требовалось доказать.
Задание
2. Вычислить
предел числовой последовательности .
Решение:
.
Для
раскрытия неопределённости данного
вида преобразуем выражения, стоящие
под знаками пределов, поделив и числитель,
и знаменатель на наибольшую степень.
Для этогосначала определим наибольшую
степень числителя, а затем знаменателя.
Для
числителя имеем:
~
и
~
,
следовательно, получим
,
а для знаменателя —
~
,
т. е. тоже
.
Поделим
и числитель, и знаменательна
:
.
Следовательно, .
Задание
3. Вычислить
предел числовой последовательности .
Решение:
Заметим,
что,
а
,
поэтому
Неопределенностьвидараскрывается с помощью второго
замечательного предела
.
Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела следующим образом:
Итак, .
Задание
4. Вычислить
предел функции .
Решение:
.
Задание
5. Вычислить
предел: .
Решение:
Для
раскрытия неопределенности
разложим числитель и знаменатель дроби,
стоящей под знаком предела, на множители.
Заметим, что
.
Так как при
,
значит,
делится на
.
Поделим«столбиком»
многочлен на
двучлен
:
_
|
|
|
|
|
|
| ||
_
|
|
|
|
|
|
_
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
Следовательно,
Задание
6. Вычислить
предел функции .
Решение:
Задание
7. Вычислить
предел функции
Решение:
Задание
8. Вычислить
предел функции .
Решение:
.
Задание
9. Вычислить
предел функции .
Решение:
.
Раскроем эту неопределенность, умножив числитель и знаменатель дроби на выражение,сопряженное числителю и преобразуем результат:
.
Задание
10. Вычислить
предел функции .
Решение:
Заметим,
что,
а
,
поэтому
Неопределенностьвидараскрывается с помощью второго
замечательного предела
.
Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела следующим образом:
Итак, .
Задание
11. Вычислить
предел функции .
Решение:
Заметим,
что
,
а
,
поэтому искомый
предел равен
,
т. е.
.
Задание
12. Вычислить
предел функции .
Решение:
Воспользуемся
первым замечательным пределом
.
Имеем: .
Задание
13. Исследовать
функцию на
непрерывность.
Решение:
Поскольку
элементарные функции непрерывны, то
данная функция
непрерывна
всюду за исключением, быть может, двух
точек:
и
.
Исследуем
функцию
на непрерывность в этих точках.
Для
этого найдем пределы функции в
точках и
слева
и справа:
,значит
.
Найдем
.
,
т. е.
,
следовательно, функция непрерывна в
точке
.
,следовательно,
в точке
функция терпит разрыв.
Таким
образом, исходная функция
непрерывна
всюду кроме точки
,
которая является точкой разрыва первого
рода.
Задание
14. Исследовать
на непрерывность функцию
в точках
и
.
Решение:
Легко
видеть, что при ,
таким образом, в точке
данная
функция непрерывна, а в точке
функция
неопределенна.
Найдем левый и правый пределы функции в этой точке:
значит, точка
является
точкой разрыва функции,
а поскольку
один из пределов бесконечен, то эта
точка разрыва второго рода.
Задание
15.1 Найти
производную функции .
Решение:
.
Задание
16. Найти
производную функции .
Решение:
.
Задание
17. Найти
производную функции .
Решение:
Задание
18. Найти
производную функции .
Решение:
Задание
19. Для
функции и
вычислить
.
Решение:
Задание
20. Найти
производную n-го
порядка функции .
Решение:
;
;
;
и т. д.
Исходя
из полученного, можно выявить следующую
закономерность: .
Задание
21.2 Вычислить
предел .
Решение:
Задание
22. Вычислить
предел .
Решение:
Задание
23. Вычислить
предел .
Решение:
,
т. е. сразу правило Лопиталя применить
нельзя.
Путём
тождественных преобразований выражения,
стоящего под знаком предела, сначала
сведём неопределённость видак неопределённости вида
:
Задание
24. Вычислить
предел .
Решение:
Задание
25. Провести
полное исследование функции
и построить её график.
Решение:
.
Так как область определения не симметрична относительно нуля, то функция
является функцией общего вида.
Нули функции:
.
Пересечений с осью ординат нет, так как
.
Найдём асимптоты:
Вертикальная асимптота:
. Исследуем поведение функции вблизи асимптоты справа. Для этого найдем предел:
.
Наклонные асимптоты:
,
т. е. наклонных асимптот нет.
Горизонтальных асимптот нет.
Найдем экстремумы функции:
.
Рис. 1.
Из
рис.1 следует, что
— точка максимума, а
— точка минимума.
,
.
Найдем точки перегиба:
.
См. рис. 2.
Рис. 2.
—ордината
точки перегиба.
Сведём в таблицу все результаты проведённого исследования.
Точка перегиба
График данной функции представлен на рис. 5.
Рис. 5.
Задание
26. Провести
полное исследование функции и построить её график.
Решение:
. В точке
знаменатель данной функции обращается в ноль, следовательно функция в ней не определена — терпит разрыв.
и
, следовательно функция общего вида.
, следовательно функция непериодическая.
Нули функции:
при
.
Найдем асимптоты данной функции:
Вертикальная асимптота:
и
, отсюда следует, что существует вертикальная асимптота
.
Наклонная асимптота находится по формуле:
. Так как
;
, то уравнение наклонной асимптоты будет иметь вид:
.
Горизонтальных асимптот нет, так как
.
Найдем экстремумы функции:
,
значит
,
и
— стационарные точки I
рода.
—точка
локального максимума, и
,
а точке
экстремума нет, так как в ней функция
терпит разрыв. Смотрите рис. 6.
Рис. 6.
Найдём точки перегиба:
,
значит
и
— стационарные II
рода.
В
точке функция
имеет перегиб. Ордината точки перегиба
—
.Смотрите
рис. 7.
Рис. 7.
Сведём в таблицу все результаты проведённого исследования.
Точка разрыва
Точка перегиба
График данной функции представлен на рис. 8.
Рис. 8.
Задание
27. Найти
наименьшее и наибольше значения функции
на отрезке
.
Решение:
.
Имеем
,
так как
.
для
поиска экстремумов необходимо найти:
Задание
28. Найти
неопределенный интеграл .
Решение:
Задание
29. Найти
неопределенный интеграл .
Решение:
Воспользуемся методом замены:
Задание
30. Найти
неопределенный интеграл .
Решение:
.
Заметим,
что приведенное решение наглядно
демонстрирует метод замены, но слишком
«громоздко». Запись решения можно
упростить, если воспользоваться
очевидным выражением.
С помощью этого равенства можно
«заносить» необходимый множитель под
знак дифференциала (См. Приложение).
Продемонстрируем эту идею на примере:
Задание
31. Найти
неопределенный интеграл.
Решение:
.
Задание
32. Найти
неопределенный интеграл .
Решение:
.
Задание
33. Найти
неопределенный интеграл .
Решение:
.
Задание
34. Найти
неопределенный интеграл .
Решение:
Заметим,
что
,
следовательно,
Задание
35. Найти
неопределенный интеграл .
Решение:
.
Задание
36. Найти
неопределенный интеграл .
Решение:
.
Задание
37. Найти
неопределенный интеграл .
Решение:
.
Задание
38. Найти
неопределенный интеграл .
Решение:
Задание
39. Найти
неопределенный интеграл .
Решение:
.
Задание
40. Найти
неопределенный интеграл .
Решение:
.
Задание
41. Найти
неопределенный интеграл .
Решение:
.
Задание
42. Найти
неопределенный интеграл .
Решение:
.
Задание
43. Найти
неопределенный интеграл .
Решение:
Преобразуем дробь, стоящую под знаком интеграла — выделим у неё целую часть, поделив числитель на знаменатель «уголком»:
_
|
|
|
|
|
|
| ||
_
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.
Далее разложим
знаменатель полученной дроби на
множители. Для этого будем искать
возможные корни знаменателя методом
подбора среди делителей свободного
члена. Очевидно, что таким корнем будет
,
т. к. при
знаменатель данной дроби обращается
в ноль. Поделим знаменатель на
:
_
|
|
|
|
|
|
| ||
_
|
|
|
|
|
|
_
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом,и тогда
.
.
Для того, чтобы
избежать при нахождении неопределенных
коэффициентов раскрытия скобок,
группировки и решения системы уравнений,
которая в некоторых случаях может
оказаться достаточно громоздкой,
применяют, так называемый,«метод
произвольных значений», суть которого
состоит в том, что в полученное выше
выражение подставляются поочередно
несколько (по числу неопределенных
коэффициентов) произвольных значений
.
Для упрощения вычислений в качестве
произвольных значений принято принимать
точки, при которых знаменатель дроби
равен нулю, т.е. в нашем случае —
,
и
.
В итоге получим
следующую систему уравнений: .
Корнями этой системы
будут: ,
, и
.
Окончательно
получаем, что
Задание
44. Найти
неопределенный интеграл .
Решение:
.
Задание
45. Вычислить
определенный интеграл .
Решение:
Задание
46. Вычислить
определенный интеграл .
Решение:
.
Задание
47. Найти
несобственный интеграл или доказать,
что он расходится: a) ; б)
.
Решение:
,
т. е. данный интеграл расходится;
,
значит данный интеграл сходится.