Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Брестский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ТЭА-ТМ 2 курс-курсовая

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.03.2016

Размер:

790.91 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

æ 3

0.93

N := 11

i := 0.. 11

j := 0.. 11

Исходные

3.5

-6.33 ÷

данные

Распределение исходных данных

-5.34

4.5

4.73

ç 5

9.65

5.5

0.24

x:= ç

y := ç

-11.43÷

6.5÷

ç -7.31 ÷

8.87

7.5

13.83

ç 8

ç -1.77

8.5

-16.73ø

− 10

− 20

Канонический полином

:= (x)j

i, j

формируем матрицу коэффициентов СЛАУ

решение СЛАУ (нахождение коэффициентов ia)

a := lsolve(A ,y)

формирование канонического полинома

-4.347·105

9.788·105

-9.893·105

5.919·105

a =

-2.327·105

P(t)

6.304·104

− 10

-1.2·104

− 20

1.604·103

-147.546

xi , t

8.896

-0.316

5.037·10-3

Lagr(p) := å

çyi× Õ ifçi

Интерполяция посредством

i = 0

j = 0

полинома Лагранжа

Lagr(p)

− 10

− 20

xi , p

N	æ	iö
P(t) := å	èai×t	ø
i = 0

	p - x öö
j,1,		j	÷÷
	x - x		÷÷
	i	j øø

Линейная интерполяция				Lin(t) := linterp(x,y, t)
						20
				yi		10
				yi
				Lin(t)			4	6	8
					− 10
					− 20
Квадратичный сплайн								xi, t
Квадратичный сплайн				VS:= pspline(x, y)				Ksp(z) := interp(VS, x,y, z)
				VS:= pspline(x, y)				Ksp(z) := interp(VS, x,y, z)
						20
				yi		10
				yi
				Ksp(z)			4	6		8
					− 10
					− 20
Проверка результатов интерполяции								xi, z		Ksp(x0) = 0.93
x0 = 3	y0 = 0.93		P(x0) = 0.93		Lagr(x0) = 0.93			Lin(x0) = 0.93		Ksp(x0) = 0.93
x6 = 6	y6 = −11.43		P(x6) = −11.43		Lagr(x6) = −11.43			Lin(x6) = −11.43 Ksp(x6) = −11.43
x11 = 8.5	y11 = −16.73		P(x11) = −16.73		Lagr(x11) = −16.73			Lin(x11) = −16.73		Ksp(x11) = −16.73
Расчет значений			xx1:= x3 + x4		xx2:=	x8 + x9	xx1= 4.75		xx2= 7.25
P(xx1) = 8.835			2	Lin(xx1) =		2	Ksp(xx1) = 8.771
P(xx1) = 8.835		Lagr(xx1) = 8.835		Lin(xx1) =		7.19	Ksp(xx1) = 8.771
P(xx2) = 14.065		Lagr(xx2) = 14.065		Lin(xx2) = 11.35			Ksp(xx2) = 14.02
Графическое отображение результатов интерполяции
	20
yi	10
P(xx)	10
P(xx)
Lagr(xx)
Lin(xx)			4			6			8
Lin(xx)
Ksp (xx)− 10
− 20
					xi , xx

Экстраполяция данных

:= predict

( y , 3 , 5)

y2 :=

predict

( y , 5 , 5 )

predict

( y , 7 , 5)

- 6.785

- 7.406

- 7.817

13.094

14.249

14.159

y1 = ç

13.068

y2 =

15.44

= ç

16.557

- 6.501

- 7.04

- 6.346

è - 16.039

è - 19.541

è - 21.154

k :=

0 .. 4

dx :=

xN - x0

xxk :=

x11

( k + 1) × dx

Графическое отображение результатов экстраполяции

y i

− 10

− 20

− 30

xi , xx

2.4.

Номера задач

		Задача 1			Задача 2			Задача 3
			методы ин-			методы ин-			методы ин-
x	y		терполяции	x	y	терполяции	x	y	терполяции
2,050		-4,14		2,30	6,71		2,30	6,71
2,052		-5,07		2,80	3,01		2,60	4,64	Канониче-
2,060		-7,93	Канонический	3,30	-1,42	Полином Ла-	2,90	2,15	Канониче-
2,060		-7,93	Канонический	3,30	-1,42	Полином Ла-	2,90	2,15	ский поли-
2,065		-8,83	полином.	3,80	-5,51	гранжа.	3,20	-0,53	ский поли-
2,065		-8,83	полином.	3,80	-5,51	гранжа.	3,20	-0,53	ном.
			Линейная ин-			Линейная
2,069		-8,99		4,30	-8,25		3,50	-3,16
2,069		-8,99		4,30	-8,25		3,50	-3,16	Линейная
2,075		-8,26	терполяция.	4,80	-8,97	интерполя-	3,80	-5,51	интерполя-
2,075		-8,26	Кубический	4,80	-8,97	ция.	3,80	-5,51	интерполя-
2,085		-4,81	Кубический	5,30	-7,49	ция.	4,10	-7,36	ция.
2,085		-4,81	сплайн.	5,30	-7,49	Кубический	4,10	-7,36	ция.
2,090		-2,35	Квадратич-	5,80	-4,18	сплайн.	4,40	-8,56	Квадратич-
2,090		-2,35	Квадратич-	5,80	-4,18	сплайн.	4,40	-8,56	ный сплайн.
2,096		0,87	ный сплайн.	6,30	0,15	Кубический	4,70	-9,00	ный сплайн.
2,096		0,87	ный сплайн.	6,30	0,15	Кубический	4,70	-9,00	Кубический
						сплайн.
2,100		2,97		6,80	4,45		5,00	-8,63
									сплайн.
									сплайн.
2,108		6,56		7,30	7,65		5,30	-7,49
2,134		6,23		8,80	5,26		5,60	-5,68


		Задача 4			Задача 5			Задача 6
			методы ин-			методы ин-			методы ин-
x	y		терполяции	x	y	терполяции	x	y	терполяции
					13

3,00	1,27		6,00	-2,51		6,00		-2,51
3,50	-3,16		6,50	1,94	Канонический	6,30		0,15

4,00	-6,81	Полином Ла-	7,00	5,91		6,60		2,80		Полином Ла-
4,00	-6,81	Полином Ла-	7,00	5,91	полином.	6,60		2,80		Полином Ла-
4,50	-8,80	гранжа.	7,50	8,44	полином.	6,90		5,21		гранжа.
4,50	-8,80	гранжа.	7,50	8,44	Линейная ин-	6,90		5,21		гранжа.
5,00	-8,63	Линейный	8,00	8,90	Линейная ин-	7,20		7,14		Линейная ин-
5,00	-8,63	Линейный	8,00	8,90	терполяция.	7,20		7,14		Линейная ин-
5,50	-6,35	сплайн.	8,50	7,19	терполяция.	7,50		8,44		терполяция.
5,50	-6,35	сплайн.	8,50	7,19	Линейный	7,50		8,44		терполяция.
		Квадратич-								Линейный
6,00	-2,51		9,00	3,71		7,80		8,99
6,00	-2,51		9,00	3,71	сплайн.	7,80		8,99
6,50	1,94	ный сплайн.	9,50	-0,68	сплайн.	8,10		8,73		сплайн.
		ный сплайн.			Квадратичный					сплайн.
		Кубический								Кубический
7,00	5,91		10,00	-4,90		8,40		7,69
7,00	5,91		10,00	-4,90	сплайн.	8,40		7,69
		сплайн.								сплайн.
7,50	8,44		10,50	-7,92		8,70		5,97
7,50	8,44		10,50	-7,92		8,70		5,97
8,00	8,90		11,00	-9,00		9,00		3,71
8,50	7,19		11,50	-7,88		10,30		6,80

	Задача 7			Задача 8					Задача 9

		методы ин-			методы ин-					методы ин-
x	y	терполяции	x	y	терполяции		x		y	терполяции
3,00	-8,23		6,00	-4,47			16,00		1,72
3,50	-3,06		6,50	3,23			15,50		-1,30	Канонический

4,00	4,66	Канонический	7,00	7,08	Полином Ла-		15,00		-3,29
4,00	4,66	Канонический	7,00	7,08	Полином Ла-		15,00		-3,29	полином.
4,50	4,73	полином.	7,50	4,34	гранжа.		14,50		-2,29	полином.
4,50	4,73	полином.	7,50	4,34	гранжа.		14,50		-2,29	Линейная ин-
5,00	-1,31	Линейная ин-	8,00	-1,80	Линейный		14,00		0,97	Линейная ин-
5,00	-1,31	Линейная ин-	8,00	-1,80	Линейный		14,00		0,97	терполяция.
5,50	-4,54	терполяция.	8,50	-5,66	сплайн.		13,50		3,54	терполяция.
5,50	-4,54	терполяция.	8,50	-5,66	сплайн.		13,50		3,54	Линейный
		Квадратичный			Квадратичный
6,00	-1,27		9,00	-4,17			13,00		2,93
6,00	-1,27		9,00	-4,17			13,00		2,93	сплайн.
6,50	3,18	сплайн.	9,50	0,79	сплайн.		12,50		-0,53	сплайн.
		сплайн.			сплайн.					Квадратичный
		Кубический			Кубический
7,00	2,76		10,00	4,56			12,00		-3,77
7,00	2,76		10,00	4,56			12,00		-3,77	сплайн.
		сплайн.			сплайн.
7,50	-1,29		10,50	3,98			11,50		-3,68
7,50	-1,29		10,50	3,98			11,50		-3,68
8,00	-3,11		11,00	-0,04			11,00		-0,04
8,50	-0,52		11,50	-3,68			10,50		3,98

	Задача 10			Задача 11					Задача 12

		методы ин-			методы ин-					методы ин-
x	y	терполяции	x	y	терполяции		x		y	терполяции
3,00	-5,93		6,00	0,85			16,00		-12,72
3,50	-3,00		7,00	-2,46			15,50		6,63

4,00	5,96	Полином Ла-	8,00	-6,05	Канонический		15,00		18,17	Полином Ла-
4,50	7,66	гранжа.	9,00	-8,80	полином.		14,50		0,01	гранжа.
5,00	-2,62	Линейная ин-	10,00	-9,59	Линейная ин-		14,00		-16,94	Линейный
5,50	-11,00	терполяция.	11,00	-7,76	терполяция.		13,50		-26,01	сплайн.
		Линейный			Квадратичный					Квадратичный
6,00	-3,66	Линейный	12,00	-3,35	Квадратичный		13,00		-24,16	Квадратичный
		сплайн.			сплайн.					сплайн.
6,50	10,75	сплайн.	13,00	2,80	сплайн.		12,50		-12,90	сплайн.
		Кубический			Кубический					Кубический
7,00	10,83	Кубический	14,00	9,20	Кубический		12,00		2,59	Кубический
		сплайн.			сплайн.					сплайн.
7,50	-5,82	сплайн.	15,00	14,07	сплайн.		11,50		15,81	сплайн.
8,00	-15,90		16,00	15,83			11,00		21,71
8,50	-2,99		17,00	13,57			10,50		18,56

	Задача13			Задача 14					Задача 15
		методы ин-			методы ин-					методы ин-
x	y	терполяции	x	y	терполяции		x		y	терполяции

				14

	2,10		11,47				2,30	-6,00				0,00	0,00
	2,20		9,47		Канонический		2,80	-8,48				0,40	3,50

	2,30		6,71				3,30	-8,89		Полином Ла-		0,80	6,46	Канонический
	2,30		6,71		полином.		3,30	-8,89		Полином Ла-		0,80	6,46	Канонический
	2,40		3,42		полином.		3,80	-7,12		гранжа.		1,20	8,39	полином.
	2,40		3,42		Линейная ин-		3,80	-7,12		гранжа.		1,20	8,39	полином.
	2,50		-0,14		Линейная ин-		4,30	-3,61		Линейная ин-		1,60	9,00	Линейная ин-
	2,50		-0,14		терполяция.		4,30	-3,61		Линейная ин-		1,60	9,00	Линейная ин-
	2,60		-3,69		терполяция.		4,80	0,79		терполяция.		2,00	8,18	терполяция.
	2,60		-3,69		Линейный		4,80	0,79		терполяция.		2,00	8,18	терполяция.
										Линейный				Квадратичный
	2,70		-6,95				5,30	4,99				2,40	6,08
	2,70		-6,95		сплайн.		5,30	4,99				2,40	6,08
	2,80		-9,65		сплайн.		5,80	7,97		сплайн.		2,80	3,01	сплайн.
					Квадратичный					сплайн.				сплайн.
										Кубический				Кубический
	2,90		-11,59				6,30	9,00				3,20	-0,53
	2,90		-11,59		сплайн.		6,30	9,00				3,20	-0,53
										сплайн.				сплайн.
	3,00		-12,60				6,80	7,82				3,60	-3,98
	3,00		-12,60				6,80	7,82				3,60	-3,98
	3,10		-12,60				7,30	4,73				4,80	-8,97
	3,20		-11,61				7,50	3,12				5,80	-4,18

				Задача 16				Задача 17					Задача 18

					методы ин-				методы ин-					методы ин-
x		y			терполяции		x	y	терполяции			x	y	терполяции
	3,00		1,29				6,00	7,03				16,00	2,61
	3,50		-6,45				6,50	6,98	Канонический			15,50	2,95

	4,00		-4,17		Полином Ла-		7,00	0,98				15,00	0,51	Полином Ла-
	4,00		-4,17		Полином Ла-		7,00	0,98		полином.		15,00	0,51	Полином Ла-
	4,50		2,92		гранжа.		7,50	-5,06		полином.		14,50	-2,58	гранжа.
	4,50		2,92		гранжа.		7,50	-5,06	Линейная ин-			14,50	-2,58	гранжа.
	5,00		4,82		Линейный		8,00	-5,99	Линейная ин-			14,00	-3,44	Линейная ин-
	5,00		4,82		Линейный		8,00	-5,99		терполяция.		14,00	-3,44	Линейная ин-
	5,50		0,10		сплайн.		8,50	-1,62		терполяция.		13,50	-1,08	терполяция.
	5,50		0,10		сплайн.		8,50	-1,62		Линейный		13,50	-1,08	терполяция.
					Квадратич-									Линейный
	6,00		-3,97				9,00	3,67				13,00	2,49
	6,00		-3,97				9,00	3,67		сплайн.		13,00	2,49
	6,50		-2,16		ный сплайн.		9,50	5,20		сплайн.		12,50	3,96	сплайн.
					ный сплайн.				Квадратичный					сплайн.
					Кубический									Кубический
	7,00		2,26				10,00	2,04				12,00	1,77
	7,00		2,26				10,00	2,04		сплайн.		12,00	1,77
					сплайн.									сплайн.
	7,50		3,07				10,50	-2,61				11,50	-2,32
	7,50		3,07				10,50	-2,61				11,50	-2,32
	8,00		-0,34				11,00	-4,55				11,00	-4,55
	8,50		-2,90				11,50	-2,32				10,50	-2,61

					Задача 19							Задача 20

						методы интерполя-							методы интерполя-
x				y		ции				x	y		ции
	4,00				-1,66					16,00		-29,36
	5,00				-4,01					15,50		-29,70

	6,00				-5,94	Канонический поли-				15,00		-16,43
	7,00				-6,56		ном.			14,50		3,48	Полином Лагранжа.
	8,00				-5,23	Полином Лагранжа.				14,00		20,48	Полином Лагранжа.
	8,00				-5,23	Полином Лагранжа.				14,00		20,48	Линейный сплайн.
	9,00				-1,90	Линейная интерполя-				13,50		26,97	Линейный сплайн.
	9,00				-1,90	Линейная интерполя-				13,50		26,97	Квадратичный
							ция.
	10,00				2,84					13,00		20,71
	10,00				2,84					13,00		20,71		сплайн.
						Квадратичный
	11,00				7,80					12,50		5,49
	11,00				7,80					12,50		5,49	Кубический сплайн
							сплайн.
	12,00				11,52					12,00		-11,06
	12,00				11,52					12,00		-11,06
						Кубический сплайн
	13,00				12,70	Кубический сплайн				11,50		-21,26
	14,00				10,55					11,00		-20,96
	15,00				5,20					10,50		-11,21

Задание 2. Подбор в Mathcad и Micrrosoft Excel подходящей эмпирической формулы для аппроксимации экспериментальных данных.

3.1.Теоретические сведения

3.1.1. Задача отыскания параметров эмпирической формулы является одной из наиболее важных задач, встречающихся при обработке результатов наблюдений, различных экспериментов и т.п. Ее суть в следующем.

Имеется m точек, заданных координатами в декартовой системе координат (xi,yi), i=1,…,m. Требуется найти такую функцию y=f(x), значения которой в точках xi как можно более точно совпадают с yi., т. е. yi≈f(xi), см. рис.

Слова «наилучшее приближение к имеющимся данным» могут пониматься по-разному. Наиболее часто используется так называемый принцип наименьших квадратов. Он основан на том, что из заданного множества формул вида y=f(x) наилучшей является та функция, для которой сумма квадратов отклонений вычисленных значений f(xi) от наблюдаемых значений yi является наименьшей. Подбор параметров функции f(x), основанный на этом принципе, называют методом наименьших квадратов.

Рассмотрим метод наименьших квадратов на примере эмпирической формулы, которая линейно зависит от 2-х параметров и имеет вид:

f(x)=φ(x, a, b)=aϕ(x)+bψ(x).

(1)

Заметим, что линейная зависимость формулы от параметров взята не случайно. В этом случае метод наименьших квадратов имеет наиболее простую и изящную реализацию. Что касается двух параметров, то это не принципиально, с двумя параметрами проще.

Введем в рассмотрение функцию, представляющую сумму квадратов отклонений:

m	m
F(x,a,b) = å(yi - f(xi ))2	= å(yi - f(xi ,a,b))2 .	(2)
i=1	i=1

В соответствии с принятым подходом, параметры a и b необходимо подобрать таким образом, чтобы значение F(x,a,b) было минимальным:

F(x,a,b) → min .	(3)
a,b

Как известно из курса высшей математики, точка минимума (a,b) необходимо удовлетворяет условиям:

ì	¶F(x,a,b)	m
		= 2å(yi - f(xi ,a,b))
ï	¶a
ï		i=1
í	¶F(x,a,b)	m
ï
		= 2å(yi - f(xi ,a,b))
ï	¶b
î		i=1

Подставляя в систему (4) функцию (1), получаем:

¶f(x,a,b) = 0,

¶a

¶f(x,a,b) = 0.

(4)

¶b

ì m
ïå(yi - aj(xi ) - by(xi ))j(xi ) = 0,
ï i=1				(5)
í	m			(5)
ïïå(yi - aj(xi ) - by(xi ))y(xi ) = 0.
î i=1
После несложных преобразований приходим к системе уравнений
ì	m	m	m
ïaåj2 (xi ) + båj(xi )y(xi ) = åyi j(xi ),
ï	i=1	i=1	i=1	(5)
í	m	m	m	(5)
ïïaåj(xi )y(xi ) + båy2 (xi ) = åyi y(xi )
î	i=1	i=1	i=1

Решив систему (5), найдем значения параметров a и b, которые являются решением задачи (2).

Система (5) представлена в общем виде. Ее конкретный вид зависит от функций j(x), y(x). Рассмотрим примеры.

Пример 1. Пусть f(x,a,b)=ax+b, т.е. j(x)=x, y(x)=1. Система (5) принимает вид

ì	m	m	m
ïaåxi2 + båxi =			åyi xi ,
ï	i=1	i=1	i=1
í	m	m
ïïaåxi + b × m = åyi .
î	i=1	i=1

Пример 2. Пусть f(x,a,b)=a×sinx+b×lnx , т.е. j(x)=sinx, y(x)=lnx. Система (5)

принимает вид

ì	m	m	m
ïaåsin2 xi		+ båsin xi ln xi	= åyi sin xi ,
ï	i=1	i=1	i=1
í	m	m	m
ïïaåsin xi ln xi + båln2 xi			= åyi ln xi .
î	i=1	i=1	i=1

3.1.2. Проведенные выше рассуждения нетрудно обобщить на случай 3-х, 4-х и более параметров, от которых искомая функция зависит линейно. Например, если

f(x)=f(x, a, b, c)=aj(x)+by(x)+cl(x),

то система для отыскания параметров a, b, c принимает вид

ì	m	m		m		m
ïaåj2 (xi ) + båj(xi )y(xi ) + cåj(xi )l(xi ) = åyi j(xi ),
ï i=1		i=1		i=1		i=1
ï	m		m	m		m
íaåy(xi )j(xi ) + båy2 (xi ) + cåy(xi )l(xi ) = åyi y(xi ),
ï i=1			i=1	i=1		i=1
ï	m		m		m	m
ïaål(xi )j(xi ) + bål(xi )y(xi ) + cål2 (xi ) = åyi l(xi ).
î	i=1		i=1		i=1	i=1

3.1.3. Для подбора подходящей эмпирической формулы необходимо знать, как выглядят графически математические зависимости, из которых выбирается эмпирическая формула. Приведем графики тех из них, которые будут использоваться в настоящей лабораторной работе.

a) y=ax+b (линейная зависимость)
a>0	a<0
2) y=ax2+bx+c (квадратичная зависимость)
a>0	a<0

3) y=a/x+b (гиперболическая зависимость)

a>0

a<0

3) y=aex+b (показательная зависимость)
a>0	a<0
5) y=a lnx+b (логарифмическаяая зависимость)
a>0	a<0

6) y = a	x + b
	a>0	a<0

7)y=a sinx + b cosx + c
8) y=a x+ b sinx+c cosx
a>0	a<0

9) y=a arctgx +b

a>0

a<0

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
14.08.20192.52 Mб8ТСП 16-22.doc
#
11.11.20186.64 Mб20ТСП курсач.doc
#
03.12.20181.68 Mб20ТСП(Марго).doc
#
14.08.20195.15 Mб12ТСП-ПП-6(1-15).doc
#
22.09.20193.96 Mб39ТСП.doc
#
01.03.2016790.91 Кб16ТЭА-ТМ 2 курс-курсовая.pdf
#
01.03.20161.25 Mб45ТЭЦ_Шпоры.docx
#
01.09.2019111.1 Кб5Управление образования Кобринского райисполкома...doc
#
01.03.2016235.01 Кб96УСТАВ СЛУЖБЫ(Приказ МЧС №2 от 03.01.2012 ).doc
#
21.11.20183.3 Mб8Уч. практика (новая) для бухгалтеров.doc
#
01.03.20166.15 Mб15Учет в средневековой Руси до XVIII века.doc