2. Определение статистических параметров вариационного стокового ряда. Построение теоретической кривой обеспеченности годового стока.

При водохозяйственном использовании реки необходимо знать не только среднюю величину (норму стока), но и сток различной вероятности превышения (обеспеченности), т.е. возможные его колебания на весь запланированный период службы сооружения.

Для определения годового стока различной вероятности превышения используются кривые распределения или обеспеченности. В общем случае, если рассматривать изменяющийся (вариационный) стоковый ряд, вид кривой обеспеченности зависит от следующих статистических параметров ряда: средней арифметической величины ряда (нормы стока ), коэффициента вариации (C_v ) и коэффициента асимметрии (C_s).

Коэффициент вариации (изменчивости) (C_v) - безразмерный статистический параметр, характеризующий изменчивость гидрометеорологической величины относительно ее средне­го значения.

Коэффициент асимметрии (C_s) – безразмерный статистический параметр, характери­зующий степень несимметричности распределения ряда рассматриваемой гидрометеороло­гической величины относительно ее среднего значения.

Для построения эмпирических (по данным наблюдений) кривых обеспеченности необ­ходимо определить обеспеченность каждого члена стокового ряда. Ежегодная вероятность превышения (обеспеченность) расхода поды (Р, %) – это вероятность появления расхода рав­ного или превышающего заданное значение. Определяется по формуле:

(2.1)

где m - порядковый номер членов ряда соответствующей гидрологической характеристики, расположенной в убывающем порядке; n - общее число членов ряда. Чем больше вероят­ность превышения, тем меньше значение гидрометеорологической характеристики и наобо­рот.

От обеспеченности можно перейти к вероятной повторяемости в годах (N) расхода равного или превышающего заданный, используя следующие формулы:

при Р ≤ 50% (2.2)

при Р ≥ 50% (2.3)

Если по формуле (2.1) вычислить обеспеченность всех членов ряда, расположенных в убывающем порядке, можно по полученным значениям обеспеченности и соответствующим им значениям расходов воды построить эмпирическую кривую обеспеченности. Однако, из-за отсутствия длительных рядов наблюдений, такая кривая не позволяет определить расходы воды редкой повторяемости (1 раз в 100 500, 1000 лет). Эмпирическую кривую необходимо экстраполировать в верхней и нижней частях значений обеспеченности. Для этой цели используются теоретические кривые распределения: трёхпараметрического гамма распределения и распределение Пирсона III типа.

Для построения теоретических кривых необходимо вычислить коэффициент вариации (С_v) и асимметрии (C_s) по которым рассчитываются ординаты теоретических кривых.

При наличии длительных рядов данных однородных гидрометрических наблюдений СНиП 2.01.14-83 предусматривает следующие методы определения этих коэффициентов: метод наибольшего правдоподобия, метод моментов.

Метод наибольшего правдоподобия.

Применяется при любой изменчивости стока. Значения годового расхода воды (Q_i) располагаются в убывающем порядке, и определяется эмпирическая ежегодная вероятность превышения по формуле (2.1). Рассчитываю модульные коэффициенты (k_i), а также (lgk_i) и произведения (k_i∙lgk_i). Результаты расчетов записываются в таблицу 2.1.

Таблица 2.1 Параметры кривой распределения годового расхода воды (Q_i), рассчитанные методом наибольшего правдоподобия

№ члена ряда	Год	Qi, м3/с	Qiубыв., м3/с	P, %	ki	lgki	ki∙lgki
1	2	3	4	5	6	7	8
1	1947	26,5	39,01	2,78	3,35	0,52	1,76
2	1948	8,49	34,1	5,56	2,93	0,47	1,37
3	1949	16,1	31,3	8,33	2,69	0,43	1,15
4	1950	5,16	26,5	11,11	2,27	0,36	0,81
5	1951	19,7	24,53	13,89	2,11	0,32	0,68
6	1952	2,39	22,9	16,67	1,97	0,29	0,58
7	1953	22,9	19,7	19,44	1,69	0,23	0,39
8	1954	0,84	16,48	22,22	1,41	0,15	0,21
9	1955	6,83	16,1	25,00	1,38	0,14	0,19
10	1956	31,3	14,38	27,78	1,23	0,09	0,11
11	1957	6,25	12,77	30,56	1,10	0,04	0,04
12	1958	34,1	12,4	33,33	1,06	0,03	0,03
13	1959	6,83	12,15	36,11	1,04	0,02	0,02
14	1960	4,05	10,79	38,89	0,93	-0,03	-0,03
15	1961	4,35	8,94	41,67	0,77	-0,11	-0,09
16	1962	39,01	8,69	44,44	0,75	-0,13	-0,09
17	1963	8,94	8,49	47,22	0,73	-0,14	-0,10
18	1964	6,09	8,07	50,00	0,69	-0,16	-0,11
19	1965	5,35	7,33	52,78	0,63	-0,20	-0,13
20	1966	14,38	6,83	55,56	0,59	-0,23	-0,14

Продолжение таблицы 2.1

1	2	3	4	5	6	7	8
21	1967	8,07	6,83	58,33	0,59	-0,23	-0,14
22	1968	8,69	6,46	61,11	0,55	-0,26	-0,14
23	1969	3,49	6,25	63,89	0,54	-0,27	-0,15
24	1970	24,53	6,09	66,67	0,52	-0,28	-0,15
25	1971	10,79	5,84	69,44	0,50	-0,30	-0,15
26	1972	0,22	5,6	72,22	0,48	-0,32	-0,15
27	1973	5,6	5,35	75,00	0,46	-0,34	-0,16
28	1974	5,84	5,16	77,78	0,44	-0,35	-0,16
29	1975	6,46	4,35	80,56	0,37	-0,43	-0,16
30	1976	3,37	4,05	83,33	0,35	-0,46	-0,16
31	1977	7,33	3,49	86,11	0,30	-0,52	-0,16
32	1978	12,4	3,37	88,89	0,29	-0,54	-0,16
33	1979	12,77	2,39	91,67	0,21	-0,69	-0,14
34	1980	16,48	0,84	94,44	0,07	-1,14	-0,08
35	1981	12,15	0,22	97,22	0,02	-1,72	-0,03
Сумма		407,75				-5,768	4,582
Среднее		11,65

По данным таблицы 2.1 на клетчатку вероятности (рис.2.1) наносим эмпирические точки (графы 4 (6) и 5 таблицы 2.1), и строим сглаженную эмпирическую кривую обеспеченности.

Определяем среднее многолетнее значение расхода воды

м³/c, (2.4)

затем вычисляем суммы = -5,768,= 4,582, для вычисления статистик₂ и ₃, которые рассчитываются по формулам

; (2.5)

По специальным номограммам [3], в соответствии с вычисленными статистиками (₂) и (₃), определяем коэффициент вариации C_v = 0,85 , C_s=2C_v . Далее по этим параметрам и = 11,65 м/с, согласно таблице Ж1 [3], вычисляем ординаты кривой трехпараметрического гамма-распределения и заносим в таблицу 2.2

Таблица 2.2 Ординаты аналитической кривой трехпараметрического гамма-распределения

Р, %	0,01	0,1	1	5	10	25	50	75	95	99	99,9
Кp	7,415	5,69	3,93	2,675	2,125	1,375	0,774	0,384	0,101	0,0295	0,006
Qp, м³/с	86,38	66,29	45,78	31,16	24,76	16,02	9,02	4,47	1,18	0,34	0,07

По данным таблицы 2.2 строим аналитическую кривую распределения, по которой определяются искомые значения расходов воды годового стока заданной вероятности превышения (рис. 2.1).

Определяем средние квадратические ошибки нормы годового стока и коэффициента вариации без учета автокорреляции по формулам:

(2.6)

(2.7)

Метод моментов.

Метод моментов является вспомогательным методом. Применяется при изменчивости годового стока C_v ≤ 0,50. Расчет статистических параметров производим в порядке, указанном в таблице 2.3.

Таблица 2.3 Параметры кривой распределения годового расхода воды, рассчитанные методом моментов

№ члена ряда	Год	Qi, м3/с	Qiубыв., м3/с	P, %	ki	ki-1	(ki-1)2	(ki-1)3
1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1947	26,5	39,01	2,78	3,34850	2,34850	5,51544	12,95300
2	1948	8,49	34,1	5,56	2,92704	1,92704	3,71348	7,15602
3	1949	16,1	31,3	8,33	2,68670	1,68670	2,84494	4,79855
4	1950	5,16	26,5	11,11	2,27468	1,27468	1,62480	2,07110
5	1951	19,7	24,53	13,89	2,10558	1,10558	1,22231	1,35136
6	1952	2,39	22,9	16,66	1,96567	0,96567	0,93251	0,90049
7	1953	22,9	19,7	19,44	1,69099	0,69099	0,47746	0,32992
8	1954	0,84	16,48	22,22	1,41459	0,41459	0,17189	0,07126
9	1955	6,83	16,1	25,00	1,38197	0,38197	0,14590	0,05573
10	1956	31,3	14,38	27,78	1,23433	0,23433	0,05491	0,01287
11	1957	6,25	12,77	30,56	1,09614	0,09614	0,00924	0,00089
12	1958	34,1	12,4	33,33	1,06438	0,06438	0,00414	0,00027
13	1959	6,83	12,15	36,11	1,04292	0,04292	0,00184	0,00008

Продолжение таблицы 2.3

1	2	3	4	5	6	7	8	9
14	1960	4,05	10,79	38,89	0,92618	-0,07382	0,005449	-0,0004
15	1961	4,35	8,94	41,67	0,767382	-0,23262	0,054111	-0,01259
16	1962	39,01	8,69	44,44	0,745923	-0,25408	0,064555	-0,0164
17	1963	8,94	8,49	47,22	0,728755	-0,27124	0,073574	-0,01996
18	1964	6,09	8,07	50,00	0,692704	-0,3073	0,094431	-0,02902
19	1965	5,35	7,33	52,77	0,629185	-0,37082	0,137504	-0,05099
20	1966	14,38	6,83	55,55	0,586266	-0,41373	0,171176	-0,07082
21	1967	8,07	6,83	58,33	0,586266	-0,41373	0,171176	-0,07082
22	1968	8,69	6,46	61,11	0,554506	-0,44549	0,198465	-0,08841
23	1969	3,49	6,25	63,88	0,536481	-0,46352	0,21485	-0,09959
24	1970	24,53	6,09	66,67	0,522747	-0,47725	0,227771	-0,1087
25	1971	10,79	5,84	69,44	0,501288	-0,49871	0,248714	-0,12404
26	1972	0,22	5,6	72,22	0,480687	-0,51931	0,269686	-0,14005
27	1973	5,6	5,35	75,00	0,459227	-0,54077	0,292435	-0,15814
28	1974	5,84	5,16	77,77	0,442918	-0,55708	0,31034	-0,17288
29	1975	6,46	4,35	80,55	0,373391	-0,62661	0,392639	-0,24603
30	1976	3,37	4,05	83,33	0,347639	-0,65236	0,425574	-0,27763
31	1977	7,33	3,49	86,11	0,299571	-0,70043	0,490601	-0,34363
32	1978	12,4	3,37	88,88	0,28927	-0,71073	0,505137	-0,35902
33	1979	12,77	2,39	91,66	0,20515	-0,79485	0,631786	-0,50218
34	1980	16,48	0,84	94,44	0,072103	-0,9279	0,860993	-0,79891
35	1981	12,15	0,22	97,22	0,018884	-0,98112	0,962588	-0,94441
Сумма		407,75			34,93		23,52243	25,06691

По результатам расчетов (таблицы 2.3) определяем суммы: вычисляем смещенные значения коэффициентов вариации , асимметриии средние квадратические ошибки по формулам

(2.8)

(2.9)

(2.10)

(2.11)

(2.12)

Относительная средняя квадратическая ошибка нормы годового расхода воды 10,8 % (продолжительность периода n=35 лет) считается достаточной.

Расчетные несмещенные значения коэффициентов C_v и C_s определяем по следующим формулам:

(2.13) (2.14)

где: и- коэффициенты найденные по таблице 4.1 и 4.2 [3] для соотношенияC_s/C_v = 3,0 и коэффициента автокорреляции r(l)=0:

По несмещенным параметрам C_s=1,5, C_v=0,85 и =11,65/с вычисляются ординаты биноминальной кривой распределения (табл.2.4) по таблице К1[3].

По данным таблицы 2.4 на клетчатке вероятности строим аналитическую кривую биноминального распределения годового стока заданной вероятности превышения.

Таблица 2.4 Ординаты аналитической кривой биноминального распределения годового стока (для метода моментов)

Р, %	0,01	0,1	1	5	10	25	50	75	95	99	99,9
Фр	7,09	5,23	3,33	1,96	1,335	0,475	-0,235	-0,73	-1,135	-1,26	-1,315
Кp=ФpCv+1	7,03	5,45	3,83	2,67	2,13	1,40	0,80	0,38	0,04	-0,07	-0,12
Qp = КpQ, м³/с	81,86	63,4	44,6	31,1	24,87	16,35	9,32	4,42	0,41	-0,83	-1,37

Графоаналитический метод.

Для получения оценок параметров аналитической кривой распределения, по сглаженной эмпирической кривой распределения(клетчатка вероятности),построенной с использованием данных таблицы 2.1 (графы 4;5),определяются ее ординаты ,т.е. средние годовые расходы воды с вероятностью превышения (P),равной 5, 50, 95%.Результаты вычисления заносятся в таблицу 2.5.

Таблица 2.5.Параметры кривой распределения годового стока,расчитанные графоаналитическим методом.

Q5%	Q50%	Q95%	S	Cs	Ф5%-Ф95%	σ	Ф50%	σФ50%	Сv
35,08	8,07	0,716	0,57	2,0	2,95	11,65	-0,310	-3,612	0,99

Определение параметров биноминальной кривой обеспеченности графоаналитическим методом необходимо начать с расчета коэффициента скошенности (S) по формуле:

S=(2.15)

С использованием коэффициента скошенности (S), по таблице К.1[2] определяется коэффициент асимметрии (Сs),разность нормативных отклонений(Ф5%-Ф95%) и нормативное отклонение (Ф50%).Далее рассчитывается среднее квадратическое отклонение (σ),норма годового расхода воды(Q) и коэффициент вариации (Сv) по формулам:

=11,65(2.16)

(2.17)

(2.18)

Весь ход вычисления оценок параметров аналитической кривой распределения графоаналитическим методом отражен в таблице 2.5.

По параметрам Q=11,68 /с, Сv=0,99,Cs=2 рассчитываются ординаты аналитической кривой обеспеченности биноминального распределения стока (таблица 2.6.),которые наносятся на клетчатку вероятности.

Таблица 2.6.Ординаты аналитической кривой биноминального распределения годового стока (для графоаналитического метода)

Р, %	0,01	0,1	1	5	10	25	50	75	95	99	99,9
Фр	8,21	5,91	3,60	2,00	1,30	0,39	-0,31	-0,71	-0,95	-0,99	-1,00
Кp=ФpCv+1	9,13	6,85	4,56	2,98	2,29	1,39	0,69	0,30	0,06	0,02	0,01
Qp = КpQ, м³/с	106,61	80,02	53,31	34,81	26,71	16,19	8,10	3,47	0,69	0,23	0,12

Определяются средние квадратические ошибки нормы годового стока и коэффициента вариации без учета автокорреляции для графоаналитического метода.

(2.19)

=(2.20)