III. Основы аналитической геометрии

40. Какой вектор называется направляющим вектором прямой на плоскости? Запишите уравнение прямой на плоскости, заданной точкой и направляющим вектором; уравнение прямой на плоскости, заданной двумя точками.

41. Запишите уравнение прямой на плоскости в отрезках; уравнение прямой на плоскости, заданной точкой и угловым коэффициентом, общее уравнение прямой на плоскости.

42. Прямые заданы общими уравнениями ,. Запишите формулу для нахождения угла между прямыми, условия параллельности и перпендикулярности прямых.

43. Прямые заданы каноническими уравнениями ,. Запишите формулу для нахождения угла между прямыми, условия параллельности и перпендикулярности прямых.

44. Прямые заданы уравнениями ,. Запишите формулу для нахождения угла между прямыми, условия параллельности и перпендикулярности прямых.

45. Запишите уравнение плоскости, заданной точкой и двумя неколлинеарными векторами; уравнение плоскости, заданной тремя точками; уравнение плоскости в отрезках.

46. Какой вектор называется нормальным вектором плоскости? Запишите уравнение плоскости, заданной точкой и нормальным вектором.

47. Плоскости заданы общими уравнениями ,. Запишите формулу для нахождения угла между плоскостями, условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

48. Запишите параметрические уравнения прямой в пространстве; уравнение прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки; общее уравнение прямой в пространстве.

49. Запишите формулу для нахождения угла между прямыми в пространстве; формулу для нахождения угла между прямой и плоскостью.

Доказать.

50. Вывод параметрического уравнения прямой на плоскости.

51. Вывод уравнения прямой на плоскости, заданной точкой и нормальным вектором.

52. Доказать, что линия на плоскости, заданная уравнением , где, является прямой.

53. Рассмотреть взаимное расположение прямых на плоскости. Установить признаки пересечения и параллельности прямых на плоскости.

54. Вывод формулы для нахождения расстояния от точки до прямой на плоскости.

55. Вывод параметрического уравнения плоскости.

56. Вывод формулы для нахождения расстояния от точки до плоскости.

57. Рассмотреть взаимное расположение прямых в пространстве. Установить признаки, определяющие, что прямые в пространстве совпадают, параллельны, пересекаются, скрещиваются.

58. Рассмотреть взаимное расположение прямой и плоскости. Установить признаки, определяющие, что прямая лежит в плоскости, параллельна ей, пересекает ее.

IV. Математический анализ.

59. Что называется функцией одной переменной? Что называют областью определения и областью значений функции? Что называют графиком функции?

60. Какая функция называется четной, нечетной? Какая функция называется возрастающей, убывающей, невозрастающей, неубывающей на некотором интервале?

61. Какая функция называется ограниченной, периодической? Что называют обратной функцией?

62. Перечислите основные элементарные функции и запишите их формулы.

63. Что называется числовой последовательностью? Что называется пределом числовой последовательности? Какая последовательность называется сходящейся, расходящейся?

64. Что называется пределом функции?

65. Сформулируйте основные теоремы о пределах.

66. Какую функцию называют бесконечно большой при ? Какую функцию называют бесконечно малой при?

67. Сформулируйте свойства бесконечно малых функций.

68. Сравнение бесконечно малых функций.

69. Запишите первый и второй замечательные пределы.

70. Дайте определение функции, непрерывной в точке. Сформулируйте свойства функций, непрерывных в точке.

71. Какая точка называется точкой разрыва функции? Какую точку разрыва называют точкой разрыва первого рода, точкой разрыва второго рода?

72. Какую функцию называют непрерывной на отрезке? Сформулируйте свойства функций, непрерывных на отрезке.

73. Что называют производной функции в точке? Какая функция называется дифференцируемой в точке? Что называют дифференциалом функции в точке?

74. В чем состоит механический и геометрический смысл производной?

75. Что называют производной n-ого порядка функции в точке? Что называют дифференциалом n-ого порядка в точке?

76. Сформулируйте правило Лопиталя для неопределенностей и.

77. Сформулируйте теорему и запишите формулу Тейлора.

78. Сформулируйте необходимое условие экстремума.

79. Сформулируйте необходимое и достаточное условие монотонности функции на некотором интервале.

80. Что называют точкой максимума, минимума, экстремума? Что называют экстремумом функции? Что называют критической точкой?

81. Сформулируйте первое и второе достаточное условие экстремума.

82. Какой график называется выпуклым, вогнутым? Сформулируйте достаточное условие выпуклости (вогнутости) графика функции.

83. Какая точка называется точкой перегиба? Сформулируйте достаточное условие точки перегиба.

84. Что называют асимптотой графика функции? Какая асимптота называется вертикальной асимптотой графика функции? Запишите формулы для нахождения наклонных асимптот графика функции.

85. Что называют вектор-функцией? Что называют годографом вектор-функции?

86. Что называют пределом вектор функции при ?

87. Что называют производной вектор функции в точке ?

88. Что называют нормальной плоскостью к годографу в точке ? Запишите уравнения касательной и нормальной плоскости к годографу в точке.

Доказать.

89. Докажите, что , где.

90. Докажите, что .

91. Докажите, что .

92. Докажите, что .

93. Докажите, что .

94. Докажите, что .

95. Получите разложение функции по формуле Маклорена.

96. Получите разложение функции по формуле Маклорена.

97. Получите разложение функции по формуле Маклорена.

98. Получите разложение функции по формуле Маклорена.

99. Получите разложение функции по формуле Маклорена.

100. Доказать, что если предел последовательности существует, то он единственный.

101. Доказать, что последовательность сходится.

102. Доказать первый замечательный предел.

103. Доказать, что если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.

104. Докажите формулу .

105. Докажите формулу .

106. Докажите формулу .

107. Получите формулу для производной степенно-показательной функции .

108. Доказать теорему о производной обратной функции.

109. Докажите, что если в точке есть экстремум, то производная функции в этой точке равна нулю.

110. Докажите, что если функция непрерывна на отрезке, дифференцируема в интервале, и на концах интервала принимает одинаковые значения, то существует точка, такая, что.

111. Докажите, что если функции и непрерывны на отрезке , дифференцируемы в интервале, причемдля всех, то найдется хотя бы одна такая точка, что выполняется равенство.

112. Сформулируйте теорему и докажите формулу Тейлора.

113. Докажите, что если дифференцируемая на интервале функциявозрастает на этом интервале, тодля всех.

114. Докажите, что если функция непрерывна и дифференцируема на интервалеидля всех, то функция возрастает на этом интервале.

115. Вывод формулы для нахождения наклонной асимптоты графика функции.