Вопросы к экзамену

Зимняя экзаменационная сессия, I семестр

Специальность: «Автоматизированные системы обработки информации»

Заочное обучение

I. Основы линейной алгебры

1. Что называют матрицей? Что называют размерностью матрицы? Какие матрицы называют равными?

2. Какую матрицу называют квадратной. Какую матрицу называют диагональной? Какую матрицу называют единичной?

3. Что называют транспонированием матрицы? Что называют суммой двух матриц? Для каких матриц можно находить сумму? Что называют произведением матрицы на действительное число?

4. Что называют произведением матриц? Для каких матриц можно находить произведение?

5. Что называют определителем второго порядка? Запишите правило его вычисления. Что называют определителем третьего порядка? Запишите правило его вычисления.

6. Что называют минором и алгебраическим дополнением элемента определителяn-го порядка? Сформулируйте теоремы разложения и онулирования для определителя n-го порядка.

7. Какую матрицу называют обратной матрице А? Для каких матриц существуют обратные? Запишите формулу нахождения обратной матрицы.

8. Что называют рангом матрицы? Что называют базисным минором? Перечислите основные элементарные преобразования матрицы.

9. Что называют системой линейных алгебраических уравнений? Что называют решением СЛАУ? Какую систему называют совместной, несовместной, определенной, неопределенной.

10. Что называют частным и общим решением СЛАУ. Какие СЛАУ называют эквивалентными? Какую систему называют однородной?

11. В чем состоит метод обратной матрицы (матричный метод) решения СЛАУ?

12. Сформулируйте теорему Крамера. В чем состоит метод Крамера решения СЛАУ?

13. В чем состоит метод Гаусса решения СЛАУ?

14. Сформулируйте теорему Кронекера-Капелли. В каком случае система будет иметь единственное решение? В каком случае система будет иметь бесконечно много решений?

15. Что называют собственным вектором и собственным числом матрицы А? Что называют характеристическим уравнением при нахождении собственных векторов и собственных значений?

Доказать.

16. Получите формулу для нахождения обратной матрицы.

17. Получите формулы Крамера решения СЛАУ.

II. Элементы векторной алгебры

18. Что называют вектором? Что такое длина вектора? Как ее обозначают? Какой вектор называют нуль-вектором? Какой вектор называют ортом?

19. В чем состоят правило треугольника и правило параллелограмма сложения векторов?

20. Что называют произведением вектора на действительное число? Запишите формулу для нахождения орта вектора .

21. Что называют проекцией вектора на ось?

22. Что называют линейной комбинацией векторов? Какая линейная комбинация называется тривиальной? Какая система векторов называется линейно зависимой, линейно независимой?

23. Что называют базисом векторного пространства, размерностью векторного пространства? Что называют координатами вектора в заданном базисе?

24. Что называют простым отношением трех точек? Запишите формулу для нахождения координат точки, делящей отрезок АВ в заданном отношении .

25. Что называют скалярным произведением векторов? Если и, может ли скалярное произведениебыть равным нулю и почему?

26. Известно, что . Чему равна длина этого вектора? Запишите формулу для нахождения косинуса угла между векторамии.

27. Что называют направляющими косинусами вектора? Если , то чему равны направляющие косинусы этого вектора?

28. Что называют векторным произведением векторов? Какая тройка векторов называется правой тройкой? Как используется векторное произведение векторов в механике?

29. Если и, может ли векторное произведениебыть равным нулю и почему? Запишите формулу для нахождения площади параллелограмма, используя векторное произведение векторов. Если,, то чему равно векторное произведение?

30. Что называют смешанным произведением векторов? Если ,и, в каком случае смешанное произведениеравно нулю?

31. Если ,,, то чему равно смешанное произведение? Запишите формулу для нахождения объема параллелепипеда, используя смешанное произведение векторов.

Доказать.

32. Докажите, что если векторы иколлинеарны, то существует такое числочто .

33. Докажите, что если два вектора пространства линейно зависимы, то они коллинеарны.

34. Докажите, что если два вектора пространства коллинеарны, то они линейно зависимы.

35. Получите формулы для нахождения координат точки, делящей отрезок в заданном отношении.

36. Получите формулы для нахождения скалярного произведения векторов, если векторы заданы координатами: ,.

37. Получите формулы для нахождения направляющих косинусов вектора . Докажите, что если– орт, то.

38. Векторы изаданы координатами,. Получите формулу для нахождения векторного произведения.

39. Получите формулу для нахождения смешанного произведения векторов , если,,.