dln001

Пусть F r1 множество клеток (вершин графа), образующих фронт волны на текущей итерации; F r2 фронт волны на следующей итерации. Тогда формализованное описание алгоритма имеет вид:

4.4.2. Графы со взвешенными дугами (ребрами)

Кратчайшие пути и в этом случае можно находить с помощью волнового алгоритма. Пусть r наибольший общий

G: Преобразуем граф, заменив каждое из ребер fvi; vjg простой цепью, состоящей из

ci;j=r ребер единичной длины. Ясно, что в полученном при этом графе G0 полностью сохранятся метрические соотношения, характеризующие расстояния между вершинами графа G: Вместе с тем G0 это граф с ребрами (дугами) единич- ной длины, для которого задача решается по описанной выше схеме. Очевидный недостаток такого подхода 0 высокая трудоемкость èç-çà большой размерности графа G : Действительно число вершин (и ребер) вPпоследнем больше, чем в графе G на величину, равную 1 ci;j¡m: Поэтому исполь-

r

fvi;vjg2E

зуют более эффективные алгоритмы решения задачи. Два из них алгоритмы Дейкстры и Флойда рассмотрены ниже.

81

Алгоритм Дейкстры. Этот алгоритм позволяет найти кратчайший путь между некоторой вершиной s и остальными вершинами при условии, что в графе нет дуг (ребер) с отрицательным весом. Рассмотрим основную идею алгоритма на примере графа G матрицей весов12 C , представленных на

рис. 4.7, взяв в качестве s вершину v5:

Ðèñ. 4.7

Выделим все вершины vi2 (v5) и припишем им числовые

таем временными. В дальнейшем, чтобы различать постоян- ные и временные метки, постоянные будем заключать в рамку.

12Пустые клетки в матрице означают, что соответствующих дуг в графе нет. Можно считать также, что дуги есть и каждая имеет вес 1 .

82

Выделим все вершины vi2 (v2)=fv1; v3; v4; v6g и рассмот- (v2; vi) (изображены на рис. 4.9 тонкими линиями).

Поскольку l(v2)+c(v2; v3)<l(v3); "обходной" путь (v5; v2; v3)

еще одна вершина v1; единственный путь к которой лежит через постоянно помеченную v2: Поэтому в качестве значения

вое значение l(v6) примем сумму l(v3)+c(v3; v6)=25: Минимальной среди временных меток является l(v1)=15: Ýòî çíà-

83

чит, что выявлен кратчайший путь (v5; v2; v1); а метка вершины v1 становится постоянной. Последующие действия выполняются аналогично. Для v1; как последней постоянно поме-

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока конечная вершина искомого кратчайшего пути не станет постоянно помеченной. Если же требуется найти кратчайшие пути до всех вершин, итерации выполняются, пока все вершины не получат постоянные метки.

Обработку данных в соответствии с алгоритмом целесообразно оформлять в виде таблицы (см. табл. 4.2), строки которой соответствуют итерациям, а столбцы вершинам графа и отражают процесс изменения их временных меток вплоть до момента, пока временная метка не станет постоянной. Два дополнительных столбца таблицы p è l(p) нужны, чтобы зафиксировать вершину, которая становится постоянно поме- ченной на очередной итерации, и длину кратчайшего пути до этой вершины.

84

На первой итерации полагаем временные метки для всех вершин, кроме начальной, равными 1; а для начальной 0.

Последней постоянно помеченной считаем вершину v5; а ее метку равной 0.

На второй итерации, используя матрицу C; находим все

(v5) и пересчитываем их временные метки по формуле l(vi)= minfl(vi); l(p)+c(p; vi)g: Среди временных меток ищем минимальную. Это метка вершины v2; теперь ее считаем постоянно помеченной.

На третьей итерации находим вершины множества (v2) и пересчитываем их временные метки. Среди всех временных вновь ищем минимальную метку. На этой итерации постоянно помеченной становится вершина v3; è ò. ä.

Процесс заканчивается на десятой итерации, когда постоянную метку получает v10: Результаты длины кратчайших путей содержатся в двух последних столбцах таблицы.

Чтобы находить сами пути, сформируем еще одну строч- ку таблицы pred, в которой для каждой вершины графа указана ее предшественница на кратчайшем пути. С этой целью в каждом столбце отыскиваем самую нижнюю строку с предпоследним значением метки. Например, в первом столб-

85

це это вторая строка, в восьмом пятая. Искомая вершинапредшественница содержится в столбце p найденной стро-

êè. Äëÿ v1 это вершина v2; à äëÿ v8 вершина v4: Теперь для определения самого пути достаточно записать цепочку вершин-предшественниц, начиная с конечной вершины.

Òàê, äëÿ v10 имеем: pred(v10)=v6; pred(v6)=v3; pred(v3)=v2

è pred(v2)=v5: Это значит, что кратчайший путь между v5 è

v10 имеет вид (v5; v2; v3; v6; v10):

Формализованная запись алгоритма Дейкстры, в которой использованы обозначения:

p последняя постоянно помеченная вершина;

l массив числовых меток вершин (длин путей);

13Формируется параллельно с массивом d: Значение pred(vi) корректируется при каждом изменении l(vi); принимая значение, равное p .

86

Алгоритм Флойда. Этот алгоритм обеспечивает решение задачи отыскания кратчайших путей для всех Cn2 неупо- рядоченых пар вершин простого графа и всех 2Cn2 упорядоче- ных пар вершин орграфа даже при наличии дуг (ребер) с отрицательным весом. Единственным условием является отсутствие в графе контуров (циклов) с суммарным отрицательным весом. Более того, алгоритм позволяет выявить эти контуры.

Пронумеруем вершины графа числами 1; 2;:::;n и обозна-

точных любое подмножество только первых m вершин. Если

между i è j нет пути такого типа, полагаем d(ijm)=1: Естественно также считать, что при отсутствии в графе контуров отрицательного веса все d(iim)=0 при любом m: Теперь элемент cij матрицы C можно рассматривать как длину крат- чайшего пути из i â j без промежуточных вершин, и обозна-

÷àòü d(0)ij ; а длину кратчайшего пути между i è j (без ограничений на промежуточные вершины) обозначать как d(ijn):

Пусть D(m) квадратная матрица порядка n: Ïðè m=0 она совпадает с матрицей C и записывается как D(0): На- чиная с D(0); с помощью алгоритма Флойда формируется

ряд матриц D(1); D(2);:::;D(n); последняя из которых является искомой матрицей длин кратчайших путей между всеми парами вершин. Алгоритм Флойда, как и алгоритм Уоршолла, "работает на месте", т. е. не требуется хранить все матрицы D(m): Каждая последующая матрица в этом ряду получается из предыдущей с помощью простого соотношения:

d(ijm) = minfd(ijm¡1); d(imm¡1)+d(mjm¡1)g;

в основе которого лежит следующее, практически очевидное положение. Длина кратчайшего пути из вершины i в вершину

j; использующего в качестве промежуточных только первые m вершин, не может быть больше длины кратчайшего пути из i â j; использующего в качестве промежуточных только первые m¡1 вершин, и не более суммы длин двух кратчайших

87

путей из i â m è èç m â j; в которых промежуточными могут быть лишь первые m¡1 вершин. Расчетное соотношение

существенно упрощается, когда m является начальной или конечной вершиной рассматриваемого пути. Тогда имеем:

d(imm) = d(imm¡1); d(mjm) = d(mjm¡1):

Это означает, что m -я строка и m -й столбец не меняются при

переходе от матрицы D(m¡1) к матрице D(m)

не пересчитываться. Если зарание известно, что в графе нет контуров отрицательного веса, то и диагональные элементы матриц также можно не пересчитывать. Отмеченные факты позволяют утверждать, что трудоемкость вычисления любой из матриц D(m) пропорциональна n2¡3n+2: Учитывая, что

для получения результата требуется n итераций, в целом трудоемкость алгоритма можно оценить как O(n3):

В качестве примера найдем матрицу длин кратчайших путей между всеми парами вершин для графа G; изображенно-

го на рис. 4.12 и имеющего матрицу весов C: Полагая D(0)=C;

Ðèñ. 4.12

с помощью алгоритма Флойда последовательно получаем матрицы: D(1); D(2); D(3); D(4); представленные на рис. 4.12, при-

÷åì D(4) и есть искомая матрица длин кратчайших путей.

В каждой матрице выделены m -й столбец и m -я строка, не подлежащие пересчету на соответствующей итерации.

88

Поскольку веса всех дуг не отрицательны, диагональные элементы матриц постоянны и равны нулю. Кроме того,

Иными словами, если i элемент выделенного столбца ра-

âåí 1; то все элементы i строки на текущей итерации не изменяются. Аналогичное утверждение справедливо и для выделенной строки. Учет приведенных соотношений позволяет сократить объем вычислений на начальных итерациях, особенно для разреженных графов. Проиллюстрируем это на примере. Второй и третий элементы первого столбца, а также четвертый элемент первой строки матрицы D(0) равны 1 . Поэтому, кроме первого столбца и первой строки, при пере- õîäå ê D(1) сохраняют свое значение элементы второй и третьей строк, а также элементы четвертого столбца. Пересчету подлежат14 ëèøü d(0)4;2=15 è d(0)4;3=20: Чтобы получить, напри-

ìåð, d(1)4;2; достаточно сложить d(0)1;2=5 è d(0)1;4=7; которые находятся в первой строке и первом столбце на позициях, соответствующих пересчитываемому элементу, сравнить найденную сумму с d(0)4;2 и выбрать наименьшее из двух чисел. Получаем

d(1)4;2=12: Точно так же решается задача и для d(1)4;3=17: Нетрудно убедиться, что на второй итерации следует вычислять только d(2)1;3; d(2)1;4 è d(2)4;3; а все остальные элементы матрица D(2)

"наследует" от D(1): Действительно, вторая строка и второй

столбец не изменяются потому, что m=2; а первый столбец и третья строка в силу приведенных выше соотношений. Все три названных элемента получают новые значения, равные соответственно 8, 18 и 15. На третьей итерации считаются

d(3)1;4 è d(3)2;4; а на четвертой d(4)1;2 , d(4)1;3 , d(4)2;3 , d(4)2;1 , d(4)3;1 , d(4)3;2; ïðè-

чем из этих шести три первые сохраняют прежние значения. Если граф имеет дуги с отрицательным весом, целесооб- разно наряду с остальными пересчитывать и диагональные

14Элементы, подлежащие пересчету, в матрицах подчеркнуты.

89

элементы матриц D(m): Появление на некоторой итерации отрицательных значений на главной диагонали матрицы показывает, что в графе есть контур (цикл) с отрицательным весом. В этом случае дальнейшие вычисления теряют смысл, так как в подобных ситуациях алгоритм "не работает".

Кроме длины, для каждого кратчайшего пути необходимо определить и последовательность входящих в него вершин. С этой целью одновременно с матрицей D(m) формиру-

ется матрица "вершин-предшественниц" P(m): Элемент p(i;jm) этой матрцы указывает предпоследнюю вершину кратчайшего (i; j) -пути, который может содержать в качестве промежу-

точных только первые m вершин графа. Вначале для всех i è j полагаем p(0)i;j =i; åñëè cij61= ; è p(0)i;j =0 в противном слу- чае. Далее на каждой итерации матрица P(m) пересчитыва-

Таким образом, элемент матрицы P(m) корректируется при

каждом изменении соответствующего элемента матрицы D(m): Для нашего примера имеем следующий ряд матриц:

где подчеркнуты элементы, которые на очередной итерации получают новые значения. Например, как было показано ранее, на первой итерации в матрице D изменились элемен-

òû d4;2 è d4;3: Поэтому согласно с приведенному выше соотношению элементы p4;2 è p4;3 матрицы P получают новые значения, равные p1;2 è p1;3 соответственно. И вообще, на m-й итерации изменяющийся элемент матрицы получает значение, равное элементу, находящемуся в том же столбце на

90