dln001

m -й позиции. Последняя из полученных матриц P(4) позволя- ет сформировать кратчайший путь для любой пары вершин. Пусть, например, это 1 и 4, причем 1 начальная, а 4 конеч- ная вершины. Элемент p(4)1;4=3; т. е. предпоследней вершиной пути является вершина 3. В свою очередь, ей предшествует вершина 2, так как p(4)1;3=2: Наконец, p(4)1;2=1: Следовательно, (1,2,3,4) кратчайший (1;4)-путь. Как следует из матрицы D(4); длина этого пути равна d(4)1;4=16: Пусть теперь 4 на-

чальная вершина пути, а 1 конечная. Так как p(4)4;1=4; т. е. предпоследняя вершина совпадает с начальной, кратчайший (4;1)-путь состоит из дуги, связывающей 4 и 1.

С использованием введенных ранее обозначений формализованное описание алгоритма Флойда можно представить так:

91

4.4.3. Ациклические орграфы

Кратчайший путь. Задача отыскания кратчайшего пути в ациклическом орграфе вполне может быть решена с помощью алгоритма Дейкстры. Однако существует более экономичный способ, использующий специфику таких графов.

Пусть в ациклическом орграфе с матрицей весов [ci;j] âåð-

шины пронумерованы так, что для любой дуги (vi; vj) выполняется отношение i<j; т. е. дуга всегда направлена от вершины с меньшим индексом (номером) к вершине с большим индексом (номером). Подобная нумерация всегда может быть выполнена на основе порядковой функции графа. Не нарушая общности, будем считать, что имеется только одна вершина s

с нулевой полустепенью захода и одна вершина t с нулевой полустепенью исхода, называемые соответственно истоком и стоком. Требуется найти кратчайший путь из s â t: Как и в случае алгоритма Дейкстры, фактически отыскиваются крат- чайшие пути до всех вершин графа.

Длина кратчайшего пути l(vj) до вершины vj легко нахо- дится, если известны длины кратчайших путей до всех вершин vi2 ¡(vj); т. е. вершин, являющихся началами дуг, входящих в вершинy vj: Очевидно, что

l(vj) = min [l(vi)+ci;j] ;

vi2 ¡(vj)

причем j ¡(vj)j<j; так как при используемой системе нумерации вершин число входящих дуг для любой вершины всегда меньше, чем ее индекс (номер).

Полагая l(s)=l(v1)=0; на первой итерации получаем, что l(v2)=l(v1)+c1;2=c1;2; так как вершина v2 может иметь лишь

одну входящую дугу. На второй итерации получаем l(v3) =

не будет получена длина кратчайшего пути для s .

Рассмотрим пример. Пусть требуется найти длину крат- чайшего пути между вершинами v1 (исток) и v13 (ñòîê) â

92

ациклическом графе, изображенном на рис. 4.13. Нетрудно убедиться, что нумерация вершин графа является "правильной" в указанном выше смысле.

12-

Ðèñ. 4.13

Процесс вычислений можно выполнить непосредственно по рисунку, приняв l(v1)=0; и далее переходя от вершины к вершине. При этом совсем не обязательно соблюдать оче- редность обработки вершин строго в соответствии с их нумерацией. Для данного графа вполне допустим, например, и та-

кой порядок: v1; v3; v5; v2; v7; v4; v10; v6; v8; v9; v11; v12; v13: Âàæ-

но только, чтобы к моменту обработки очередной вершины все ее "предшественницы" были обработаны. Тогда в любом случае результат (значения пометок вершин) будет таким, как показано на рис. 4.14,а, причем пометка v13 равна 44.

Для получения трассы кратчайшего пути следует выполнить процедуру "обратного хода". Сперва отыскивается предшественница для v13; лежащая на искомом кратчайшем пути. Это одна из трех вершин v10 , v11 , v12 , а именно та, для кото-

l(v13)¡l(vi)=ci;13; ãäå vi2fv10;

v11; v12g: Такой вершиной является v12: Для нее также ищется вершина-предшественница, лежащая на кратчайшем пути. Из трех возможных v4 , v8 è v11 таковой оказывается v8: Â

93

свою очередь, этой вершине предшествует v2 , à åé v1: Записывая найденную последовательность в обратном порядке, получаем собственно сам кратчайший путь (v1; v2; v8; v12; v13): На рис. 4.14,а составляющие его дуги изображены жирными линиями.

Процесс обратного хода можно упростить, если учесть, что вершина v13 получила свою пометку из v12; которая, в свою

очередь, получила пометку из v8; и т. д. Поэтому на этапе прямого хода целесообразно наряду с присвоением пометки очередной вершине дополнительно отмечать и ту вершину, из которой эта пометка получена. Тогда на этапе обратного хода остается только пройти от стока к истоку, двигаясь лишь по этим дополнительно отмеченным вершинам.

Задачу можно решать и не прибегая к изображению графа. Техника получения пометок вершин непосредственно по матрице весов C дана на рис. 4.14,б. Как и ранее, вершины должны быть пронумерованы так, чтобы для любой дуги (vi; vj) выполнялось отношение i<j: Отметим, что матрица в этом случае оказывается верхней треугольной. Незаполненные позиции означают, что соответствующих дуг в графе нет, или дуги есть, но их вес равен 1: Результаты вычислений целесообразно размещать на главной диагонали, т. е. считать, что cii=l(vi): На рис. 4.14,б эти элементы выделены жирным шрифтом и заключены в рамку. Слева приведен расчет зна- чения соответствующего диагонального элемента. Например, в девятом столбце матрицы есть три "не пустых" значения c3;9=26; c5;9=3 è c8;9=13: Это значит, что существуют три дуги, входящие в v9; начальные вершины которых имеют пометки 15 l(v3)=10; l(v5)=19 è l(v8)=13: В этом случае расчетное соотношение выглядит так: min[26+10; 3+19; 13+13]=21; ò. å.

пометка v9 равна 21. Очевидно, что вершиной-предшествен- ницей является v5; поэтому дополнительно помечаем звездоч- кой элемент c5;9: Подобным образом обрабатываем все столбцы матрицы, начиная со второго. На этапе обратного хода порядок просмотра столбцов меняется на обратный. Отыс- киваем помеченный звездочкой элемент последнего столбца.

15См. соответствующие диагональные элементы c3;3 , c5;5 è c8;8 .

94

Строка, в которой он находится, определяет предпоследнюю вершину кратчайшего пути. В столбце, соответствующем этой вершине, вновь ищем помеченный элемент получаем третью

12-

Ðèñ. 4.14

(от конца) вершину кратчайшего пути и т. д., пока помеченным не окажется элемент в первой строке матрицы.

95

В формализованной записи (с использованием ранее введенных обозначений) рассмотренный алгоритм выглядит так:

begin { Алгоритм поиска кратчайшего } l(v1) := 0;{ пути в ациклическом орграфе }

for j := 2 to n do

8

< Найти vi¤2 ¡(vj); для которой l(vi¤)+ci;j минимально;

: l(vj) := l(vi¤)+c¤i;j; pred(vj) := vi¤;

outputfl(vn)g;

v := vn;

while v=6v

½ 1 do v ! ñòåê;

v := pred(v);

outputfv1, содержимое стекаg;

{ Алгоритм поиска кратчайшего } end. { пути в ациклическом орграфе }

Очевидно, что трудоемкость первого этапа равна O(m); поскольку необходимо просмотреть все ребра, а трудоемкость второго O(n); так как, в худшем случае, кратчайший путь может включать все вершины графа.

Критический путь. Ациклические орграфы являются наглядным средством отображения взаимосвязей и порядка следования этапов сложных долговременных проектов, таких как строительство крупных сооружений, проведение широкомасштабных научно-исследовательских работ и т. п.

Пусть каждая дуга графа отображает определенную работу при выполнении некоторого проекта, а вес дуги указывает продолжительность этой работы. Тогда вершины графа можно рассматривать как события, состоящие в завершении одних работ (входящие дуги) и начале других (исходящие дуги). При этом предполагается, что ни одна "исходящая" работа не может начаться, пока не будут завершены все "входящие".

При такой интерпретации граф на рис. 4.13 вполне может рассматриваться как сетевой график некоторого проекта. При этом естественно возникает задача определения наиболее ранних сроков его завершения. Ясно, что минимальное время

96

выполнения проекта равно самому длинному пути между на- чальной и конечной вершинами. Этот путь называют крити- ческим. Метод отыскания такого пути тот же, что и в задаче

12-