dln001

больше ребер, совпадающих с ребрами TK: Повторяя описанную процедуру для TK è T 0 ; затем для TK è T 00

S S и т. д., получаем конечную последовательность кратчайших остовов, сходящуюся к TK:

Формализованная запись алгоритма. Введем следующие обозначения:

1; 2; : : : ; n числовые метки вершин графа; i счетчик ребер графа;

k счетчик ребер остова;

E список ребер графа, упорядоченных по длине. Каж-

дая строка списка состоит из пары ei;1 è ei;2; являющихся числовыми метками концов i -го ребра;

t номер фрагмента остова;

S список принадлежности вершин графа фрагментам

остова. Значение sj равно номеру фрагмента, которому на текущей итерации принадлежит вершина j: Первоначально все элементы списка равны нулю. По завершении работы алгоритма все элементы S равны единице. Для рассмотренного выше примера динамика изменения списка отражена в табл. 3.4. На итерациях 4; 7; 9; 12 14 состояние списка не меняет ся, так как соответствующие ребра не могут быть включены в остов.

61

62

Оценим трудоемкость приведенного варианта реализации алгоритма Краскала применительно к (n; m) -графу.

В худшем случае (самое длинное ребро принадлежит крат- чайшему остову) внешний цикл перебора ребер графа должен повториться m¡1 раз. Кроме того, в тех случаях, когда включение ребра приводит к объединению двух фрагментов будущего остова, должна быть выполнена процедура объединения множеств их вершин. Число повторений соответствующего цикла равно n: Учитывая все это, можно утверждать,

что трудоемкость алгоритма не хуже чем O(mn): Это весьма завышенная оценка, поскольку далеко не всегда ребро с максимальным весом входит в остов, и совсем не обязательно, что включение очередного ребра должно приводить к слиянию некоторой пары фрагментов.

В заключение отметим, что алгоритм предполагает упорядоченность списка ребер, а это, в свою очередь, требует выполнения еще порядка O(m log2 m) операций. При достаточ- но большом m именно эта составляющая процесса получения кратчайшего остова может оказаться основной в общем балансе трудоемкости.

3.4.2. Алгоритм Прима

Описание алгоритма. В отличие от алгоритма Краскала, алгоритм Прима обеспечивает построение остова графа G(V; E); заданного списком ребер, путем наращивания един-

ственного древовидного фрагмента T (V T; ET ); который вна- чале вообще не имеет ребер и состоит из одной произвольно выбранной вершины графа. На каждой итерации к фрагменту добавляется самое короткое ребро из числа ребер, у которых одна из концовых вершин vi уже включена в строя- щийся остов, а другая vj åùå íåò, ò. å. ETk:=ETk¡1+fvi; vjg è

V Tk:=V Tk¡1+vj; ãäå vi2V Tk¡1; vj62V Tk¡1; à ci;j минимально.

Процесс заканчивается после присоединения к T n¡1 ребер. Таким образом, при выполнении алгоритма формируется последовательность деревьев: T0; T1; : : : ; Tn¡1; ãäå T0=hfvg; ;i; à Tn¡1 кратчайший остов. Если список упорядочен по воз-

63

растанию весов ребер, то включению в остов на очередной итерации подлежит первое от начала списка ребро fvi; vjg; отвечающее указанному выше условию.

Построение остова для графа, изображенного на рис. 3.10, иллюстрирует табл. 3.5, аналогичная табл. 3.3.

Здесь содержимое столбца Ti показывает, как растет единственный древовидный фрагмент формируемого остова, столбец V Ti отражает рост множества вершин, принадлежащих этому фрагменту, а номер итерации, на которой ребро вклю- чается в остов, указан в столбце i .

Пусть начальный фрагмент состоит из вершины v1: Анализ первого ребра списка показывает, что оно отвечает условию включения в остов. Полученное дерево имеет две вершины v1 è v5: Проверяя второе ребро, убеждаемся, что его также следует включить в остов. Новый фрагмент содержит

64

Оценивая, как и ранее, по максимуму трудоемкость этого варианта алгоритма Прима, убеждаемся, что ее порядок равен O(nm) без учета трудоемкости сортировки списка ребер.

66

Рассмотрим еще один вариант реализации алгоритма, основанный на технике пометок вершин, не требующий предварительной сортировки ребер и использующий матрицу весов C: Покажем эту технику на примере графа, изображенного на рис. 3.10. Матрица весов этого графа имеет вид:

Процесс получения остова отображен в табл. 3.7. Столбцы таблицы содержат числовые пометки (временные и постоянные), присваиваемые вершинам при выполнении алгоритма.