Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

2014 КМ1 УСР3(пед)

.pdf
Скачиваний:
4
Добавлен:
01.03.2016
Размер:
229.96 Кб
Скачать

КОМПЬЮТЕРНАЯ МАТЕМАТИКА

УПРАВЛЯЕМАЯ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТА, ЧАСТЬ 3

 

 

 

 

БГУ , ММФ , кафедра ДУиСА

 

 

 

 

доц . Щеглова Н . Л.

 

 

 

 

для специальностей КМиСА,

 

 

 

 

Математика ( педагог.)

Оглавление

 

семестр 1, 2014 - 2015

 

 

1. Базовые и элементарные геометрические объекты

...................................................2

2.

Точка...................................................................................................................................

 

2

 

2.1

Способы задания........................................................................................................

2

 

2.2

Представление и визуализация в MathCAD............................................................

3

3.

Вектор.................................................................................................................................

 

4

 

3.1

Способы задания........................................................................................................

4

 

3.2

Представление и визуализация в MathCAD............................................................

4

 

3.3

Взаимное направление векторов плоскости............................................................

5

 

3.3.1

Перпендикулярность двух векторов.................................................................

5

 

3.3.2

Параллельность двух векторов .........................................................................

5

 

3.3.3

Биссектриса угла между векторами..................................................................

6

 

3.3.4

Проекция вектора на вектор..............................................................................

6

3.3.5Взаимная ориентация вектора нормали и направляющего вектора прямой 7

4. Прямая на плоскости.........................................................................................................

7

4.1

Способы задания........................................................................................................

7

4.2

Представление и визуализация в MathCAD............................................................

8

4.3

Представление уравнений прямой в среде MathCAD..........................................

10

4.3.1

Общее уравнение прямой ................................................................................

10

4.3.2

Параметрическое уравнение прямой..............................................................

12

4.3.3

Уравнение прямой lort, перпендикулярной заданной прямой l ....................

12

4.4

Точка и прямая.........................................................................................................

13

4.4.1

Принадлежность множества точек плоскости одной прямой......................

13

4.4.2

Ориентация точки относительно прямой.......................................................

13

4.4.3

Расстояние от точки до прямой.......................................................................

14

4.4.4

Зеркальное отражение точки относительно прямой.....................................

15

4.5

Расположение прямых.............................................................................................

15

4.5.1

Взаимное расположение двух прямых ...........................................................

15

4.5.2

Расстояние между двумя параллельными прямыми.....................................

15

4.5.3

Точка пересечения двух прямых.....................................................................

15

4.5.4

Пучок прямых ...................................................................................................

17

5. Задачи и упражнения ......................................................................................................

17

5.1 Точка, вектор, прямая..............................................................................................

17

Литература

..............................................................................................................................

21

1

1. Базовые и элементарные геометрические объекты

Постановка задачи. В заданной компьютерной среде моделирования для каждого изучаемого геометрического объекта:

1)описать способы задания;

2)указать каноническое представление;

3)построить модель для отображения;

4)описать свойства и основные соотношения (создать функции).

Так как среда моделирования числовой математический пакет MathCAD, то будем строить модели и разрабатывать алгоритмы, используя структуры данных вектор, матрица, тензор.

В аксиоматике геометрии понятия точки, прямой и плоскости остались неопределёнными. Точка, прямая, плоскость это фундаментальные понятия в аналитической геометрии.

Д. Гильберт, "Основания геометрии":

"Мы мыслим три различные системы вещей: вещи первой системы мы называем точками и обозначаем A, B, C; вещи второй системы мы называем прямыми и обозначаем a, b, c; вещи третьей системы мы называем плоскостями и обозначаем α, β ,γ ; точки называются также элементами линейной геометрии, точки и прямые элементами плоской геометрии, точки, прямые и плоскости элементами пространственной геометрии или элементами пространства.

Мы мыслим точки, прямые и плоскости в определённых соотношениях и обозначаем эти соотношения различными словами, как- то: «лежать», «между», «конгруэнтный», «параллельный», «непрерывный». Точное и для математических целей полное описание этих соотношений достигается аксиомами геометрии."

Таким образом, базовыми геометрическими объектами плоскости

будем называть объекты точка и прямая. Объекты плоскости вектор, отрезок, луч, полигон, окружность будем называть элементарными геометрическими объектами плоскости.

2. Точка

2.1Способы задания

В прямоугольной декартовой системе координат на плоскости точка p задается парой координат (px, py). В полярной системе координат парой координат (pφ, pr).

Можно установить связь между полярной системой координат и декартовой прямоугольной системой, если полюс разместить в начале декартовой прямоугольной системы координат, а полярную ось направить вдоль положительного направления оси Ох.

2

Какими соотношениями связаны координаты произвольной точки плоскости в прямоугольной декартовой системе координат и полярной системе координат? Дайте обоснование Вашего ответа.

2.2Представление и визуализация в MathCAD

Какую структуру данных следует использовать для представления объектов в среде MathCAD? Так как основной структурой данных в MathCAD является массив с индексированными переменными, то предпочтительно размещать информацию об объектах в векторах, матрицах, тензорах.

Система предоставляет много возможностей (встроенных функций, команд пунктов меню, операторов на панелях инструментов) для работы с векторами, матрицами и их частями: подматрицами, строками, столбцами, отдельными элементами. Кроме того, в MathCAD для работы с массивами не нужно объявлять их размерность, нет необходимости указывать значение каждого элемента: достаточно присвоить значения лишь необходимым элементам, и система вернет массив минимальной размерности, содержащий указанные элементы. При этом элементам, которые не были определены, MathCAD присвоит нулевые значения.

Поэтому именно на языке матриц и векторов мы будем представлять объекты, описывать их свойства и взаимосвязи.

Чтобы представить объект точка в системе MathCAD, используем структуру данных вектор, состоящий из двух элементов.

Структура данных вектор вида

æ px ö

(1),

ç ÷

è py ø

 

где px и py соответственно координаты x и y точки p в прямоугольной декартовой системе координат будет представлять точку на плоскости.

Если точка задана в полярной системе координат, то для ее канонического представления (1) нужна функция-конвертер.

Упражнение 1. Построить функцию PointPol2Dek(PhiRho), которая по заданным координатам точки p в полярной системе координат определяет

ее положение в декартовой системе координат. Входной аргумент PhiRho

вектор вида [φ, ρ]Т, где φ полярный угол, ρ полярный радиус точки p. Функция возвращает вектор вида [px, py]Т, где px и py соответственно координаты x и y точки p в прямоугольной декартовой системе координат.

Системы координат соотносятся следующим образом: полюс совпадает с началом координат в декартовой системе, а полярная ось с положительным направлением оси ОХ. С учетом указанной спецификации

функции PointPol2Dek, а также соотношений между декартовой и полярной системой координат, функция PointPol2Dek будет иметь вид

3

æcos(PhiRho0 )ö

PointPol2Dek (PhiRho):= PhiRho1 çè sin(PhiRho0 ) ÷ø .

3. Вектор

3.1Способы задания

Вектор множество, класс эквивалентных направленных отрезков. Направленный отрезок АВ множество точек на прямой, расположенных между двумя точками А и В этой прямой, включая сами точки А и В. Точку А называют началом, В концом направленного отрезка АВ.

Вектор V 0 на плоскости задается координатами (Vx, Vy) в декартовой системе координат.

Вектор единичной длины, сонаправленный с вектором V, будем называть ортом вектора V и обозначать Ve.

Зачастую при решении задач координаты точки p удобно рассматривать как координаты радиус-вектора точки p вектора,

начало которого совпадает с точкой (0, 0), а конец находится в точке p.

3.2Представление и визуализация в MathCAD

Каноническое представление вектора V 0 в MathCAD

структура данных вектор вида

æVx ö

ç ÷ , (2)

èVy ø

где Vx и Vy соответственно абсцисса и ордината вектора V в прямоугольной декартовой системе координат.

Упражнение 2. Построить функцию VectorOrt(V), возвращающую орт заданного вектора V. Входные параметры: вектор V в его каноническом представлении (2).

 

 

 

 

 

æVx ö

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

его длину

 

V

 

= Vx

2 + Vy

 

в

 

 

 

 

 

 

Для вектора V = ç

÷ запишем

 

 

2

 

 

 

 

 

èVy ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= (Vx

æV

 

ö

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

матричном виде

 

V

 

 

=

V TV .

 

 

 

 

 

Vy )ç

x

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

èVy ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда функция, возвращающая орт заданного вектора V, имеет вид

V VectorOrt(V) := .

V TV

4

Чтобы изобразить вектор вида (2) в графической области, нужно знать координаты точки его приложения.

Для визуализации вектора V 0 в MathCAD используем структуру данных матрица размером (2 х 2). Первый столбец матрицы содержит координаты начала вектора, или точки приложения вектора, второй координаты конца.

При таких соглашениях для перехода от модели для представления вектора в MathCAD к модели для его визуализации в MathCAD нужна функция-конвертер.

Упражнение 3. Построить функцию ShowVector(Vec, apPoint),

возвращающую модель вектора Vec для его отображения. Входные параметры: Vec каноническое представление вектора в MathCAD, apPoint точка приложения вектора.

Функция ShowVector возвращает матрицу размером (2 х 2), первый столбец которой содержит координаты начала вектора Vec, или точки приложения вектора apPoint, второй координаты конца вектора Vec.

VM ShowVector(Vec,apPoint):= VM VM

0

1

¬apPoint

¬apPoint + Vec .

3.3Взаимное направление векторов плоскости

3.3.1 Перпендикулярность двух векторов

 

 

Рассмотрим векторы a и b, представленные в виде

 

æ a

ö

æb ö

 

(3)

a = ç

x ÷ ,

b = ç x ÷ .

 

è ay ø

èby ø

 

 

Условием перпендикулярности векторов a и b является равенство

нулю их скалярного произведения.

 

æb ö

 

Запишем это условие в матричном виде (ax

= 0 .

ay )ç x ÷

 

 

 

èby ø

 

Утверждение 1. Векторы (3) перпендикулярны тогда и только тогда,

когда выполняется условие

aT b= 0

(4)

3.3.2 Параллельность двух векторов

Рассмотрим векторы a и b, представленные в виде (3). Запишем условие коллинеарности векторов a и b, используя их координаты

5

 

a

=

ay

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

b

b

y

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Представим это условие в матричном виде

axby - aybx =

 

ax

bx

 

= 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ay

by

 

 

С учетом (3) можно перейти к формальной записи

 

a

b

 

= 0 .

 

 

Утверждение 2. Векторы (3) коллинеарны тогда и только тогда,

когда выполняется условие

 

 

 

 

a b

 

= 0 ,

(5)

 

 

где a - столбец с элементами ax, ay и b - столбец с элементами bx, by.

3.3.3 Биссектриса угла между векторами

На плоскости заданы векторы a и b, a ¹,b ¹ 0,a ¹ b . Найти вектор, сонаправленный с биссектрисой меньшего угла, который образуют векторы a и b , выходящие из одной точки.

 

Первый способ. a =

 

a

 

, b =

 

b

 

. Искомый вектор c = a

+ b .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

a

 

 

 

e

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Второй способ. Искомый вектор c =

 

b

 

a +

 

a

 

b .

 

 

 

 

 

 

 

 

3.3.4 Проекция вектора на вектор

 

 

 

 

 

 

 

Проекция вектора V на вектор W есть вектор, сонаправленный с

вектором W и имеющий длину

 

V

 

cosα

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

prWV =

 

V

 

cosαWe ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где α

 

 

- угол между

векторами V и W, We - единичный вектор,

сонаправленный с вектором W.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Используем определение скалярного произведения (V, W) векторов V

и W, откуда

 

V

 

cosα =

(V

,W ) и представим единичный вектор в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W =

W

 

. Тогда pr V =

(V

,W )

W

= (V

,W )W = (V ,W )W .

 

e

 

W

 

 

 

 

 

W

 

 

 

 

W

 

 

 

 

W

 

 

 

 

 

 

 

W

e

 

 

 

e e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Утверждение

3.

В

среде

 

 

 

MathCAD

 

 

вектор-проекцию вектора

 

æV

 

ö

 

 

 

 

 

æW

ö

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V = ç

x

÷ на вектор

W = ç

 

 

x

 

÷ можно представить в виде

 

 

èVy ø

 

èWy ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

pr V = (V T ,W )W

 

 

 

 

 

(6)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e e

 

 

 

 

 

 

где We - орт вектора W.

6

4. Прямая на плоскости

3.3.5Взаимная ориентация вектора нормали и направляющего вектора прямой

Пусть на плоскости задана прямая l. Нормальный вектор N прямой по отношению к направляющему вектору V может быть направлен двояко: перпендикулярно влево или перпендикулярно вправо.

Какова связь между координатами V и N в каждом случае? Упражнение 4. Изобразите на плоскости векторы V, NLeft, NRight и

рассмотрите, как связаны координаты векторов V и NLeft, V и NLeft. Запишите полученные соотношения, обоснуйте их.

Для единообразия изложения материала примем правую ориентацию нормали N к прямой l. Это означает, что вектор нормали N направлен перпендикулярно вправо от направляющего вектора прямой V.

При таком соглашении связь вектора нормали N и направляющего вектора прямой V будет следующей:

если N = [Nx

Ny ]T , то V = [−Ny

N x ]T ,

если V = [Vx

Vy ]T , то N = [Vy Vx

]T .

4.1Способы задания

 

Прямая l на плоскости может быть задана следующими способами:

 

1)

координатами двух точек a

 

l, b

 

l, a b;

 

 

 

2)

точкой p l и направляющим вектором V0 прямой l;

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

точкой p0

l и нормальным вектором N0 прямой l;

 

4)

вектором

параметров

F = [A, B, D]

 

общего

уравнения прямой

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A x + B y + D = 0, A

 

+ B 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5)

угловым коэффициентом k и точкой p0

 

l;

h

¹ 0 , которые прямая

6)

длинами h , h

y

отрезков (со знаками), причем h

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

y

 

 

7)

l отсекает координатных осей, пересекая их в точках (hx, 0), (0, hy);

 

общим уравнением A x + B y + D = 0, A2 + B2 0;

 

 

8)

каноническим уравнением

x x0

=

 

y y0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

n

 

 

 

 

 

9)

параметрическим уравнением {x(t) == x0 + Vxt, y(t) == y0 + Vyt};

 

10)

нормальным

 

уравнением

x cosθ + y sinθ + p = 0 ,

где (cosθ,sinθ )

-

 

координаты вектора нормали, p длина перпендикуляра, опущенного

 

на прямую

 

из начала

координат,

 

θ

угол (измеренный

в

 

положительном направлении) между положительным направлением

 

оси Ox и направлением этого перпендикуляра;

 

 

 

11)

уравнением с угловым коэффициентом y = kx + b ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

12) уравнением прямой в отрезках

x

+

y

=1, h

h ¹ 0 ;

 

 

 

hx

 

x

y

 

hy

 

13)уравнением прямой в полярной системе координат.

4.2Представление и визуализация в MathCAD

Объект прямая l представим, используя структуру данных тензор.

Каноническим представлением прямой l в MathCAD будем называть

тензор вида

æ p

ö

,

(7),

ç

0

÷

èV

 

ø

 

 

где точка

p0

 

 

l имеет каноническое

представление (1),

направляющий

вектор прямой V0 представлен в виде (2).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Структуру данных (7) MathCAD отображает в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

æ

{2,1}ö

 

 

(8)

 

 

 

 

 

 

 

L = ç

 

÷ .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

{2,1}ø

 

 

 

Пример 1. Представить объект прямая в каноническим виде (7).

Прямая l

задана точкой p0 l

с

координатами

(2, 3) и

направляющим

вектором V, имеющим координаты (5, 7).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p0

 

 

 

 

L с

Согласно

 

(7) укажем точку

в

качестве

элемента вектора

индексом

0,

 

 

æ

2

ö

 

 

 

 

 

прямой

представим

как

 

L0 := ç

3

÷ . Направляющий вектор

 

 

 

 

è

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

элемент вектора L с индексом 1,

L1

æ

5

ö

 

 

 

:= ç

7

÷ .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

ø

 

 

 

Таким образом, объект прямая мы представили в виде вектора L, оба элемента которого являются векторами.

Для представления

координатных функций çæ x(t) ÷ö

точек (x, y) ,

 

è y(t)ø

 

принадлежащих прямой

l, достаточно записать выражение L0 + t × L1 .

Чтобы увидеть координатные функции, используем оператор вывода

æ 5t + 2ö

значения символьного выражения, а именно L0 + t × L1 ® ç ÷ .

è7t + 3 ø

Координата х, задаваемая

функцией x(t), извлекается из вектора

L0 + t × L1 указанием индекса 0,

т.е. (L0 + t × L1 )0 . Координата y, задаваемая

 

8

функцией y(t), извлекается из вектора L0 + t × L1 указанием индекса 1, т.е.

(L0 + t × L1 )1 .

Построим теперь модель прямой l для ее визуализации в

MathCAD. В графической области при этом будет отображаться отрезок прямой. Поэтому в качестве модели прямой l для ее визуализации используем матрицу, куда поместим координаты концов отрезка отображаемой прямой. По соглашению координаты каждого конца отрезка будем располагать в столбце.

Для вычисления координат концов отрезка отображаемой прямой, помимо информации о прямой, следует знать границы области, в которой прямая должна быть изображена. При этом достаточно задать интервал по координате х или по координате y.

Упражнение 5. Построить функцию ShowLineX(line, xLeft, xRight),

возвращающую модель прямой line для ее отображения в интервале x [xLeft, xRight]. Входной параметр line каноническое представление

прямой в MathCAD.

Функция ShowLineX возвращает матрицу размером (2 х 2), первый столбец которой содержит координаты точки, принадлежащей прямой line и имеющей абсциссу xLeft, второй - координаты точки, принадлежащей прямой line и имеющей абсциссу xRight.

Пусть прямая line представлена в каноническом виде, т.е. задана

тензором L вида (7). Тогда вектор координатных функций çæ x(t) ÷ö

точек

è y(t)ø

 

прямой

æ x(t) ö

æ

ç

÷

= ç

è y(t)ø

è

запишем

в

 

виде L0 + t × L1 , в координатной форме

(L )

ö

æ

(L )

 

ö

0

0 ÷

+ t ç

1

0

÷ .

(L0 )1 ø

è

(L1 )1 ø

Определим функцию tFix, вычисляющую значение параметра t, при котором точка, принадлежащая прямой line, имеет заданную абсциссу xFix. В случае, когда направляющий вектор прямой удовлетворяет условию Vx ¹ 0 (каковы Ваши рассуждения, если Vx = 0 ?), функция tFix будет иметь

вид tFix(L,xFix):=

xFix - (L0 )0

.

 

 

p0 l

 

 

 

 

(L1 )0

 

 

Тестируем построенную функцию. Укажем точку

направляющий вектор прямой, разместив их в векторе вида (3):

 

æ

-1ö

æ1ö

 

 

L0 := ç

÷, L1

:= ç ÷.

 

 

è

-1ø

è1ø

 

Вычислим значение параметра, при котором точка, принадлежащая прямой l, имеет абсциссу, равную 10: tFix(L,10)= 11.

9

Используем функцию tFix для вычисления значений параметров, соответствующих точкам прямой с указанными абсциссами xLeft и xRight.

 

 

 

tLeft ¬ tFix(L, xLeft)

 

 

 

ShowLineX (L, xLeft, xRight) :=

tRight ¬ tFix(L, xRight)

 

 

 

 

 

æ

 

xLeft

 

 

xRight)

 

ö

 

 

 

ç

(L

+ tLeft × L )

(L

+ tRight × L )

÷

 

 

 

è

0

1

1

0

1

1

ø

Тестируем построенную функцию

 

 

 

 

 

 

æ -10

10

ö

 

 

 

 

 

 

 

 

ShowLineX(L,-10,10)= ç

10

÷ .

 

 

 

 

 

 

 

 

è -10

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

4.3Представление уравнений прямой в среде MathCAD

4.3.1 Общее уравнение прямой

 

Рассмотрим задачу построения в среде MathCAD модели общего

уравнения прямой l

 

 

 

 

 

 

Ax + By + D = 0 ,

(9)

если прямая l задана различными способами:

 

1)

вектором параметров общего уравнения прямой F = (A, B, D);

 

2)

точкой p0

 

l и вектором нормали N к прямой l;

 

3)

точкой p0

l и направляющим вектором V прямой l;

 

4)

координатами двух точек a l, b

 

l, a b.

 

 

 

Пусть прямая l задана вектором параметров

 

Рассмотрим случай 1).

 

 

 

общего уравнения прямой F = (A, B, D). Требуется представить в среде MathCAD левую часть уравнения (9) в матричном виде.

Рассмотрим наряду с координатами точки p = (x, y) ее проективные координаты pp = (x, y, 1).

Тогда выражение Ax + By + D может быть получено скалярным

произведением вектора параметров общего уравнения прямой F и проективного вектора pp координат произвольной точки этой прямой. Или, используя операцию умножения вектор-строки на вектор-столбец,

FT × pp = 0.

(10)

Утверждение 4. Выражение (10) представляет модель общего уравнения прямой, если она задана вектором параметров общего

уравнения.

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим случай 2). Пусть

p = (x, y)

произвольная точка

плоскости,

точка p0 = (p0x, p0y), p0 l,

N = (N

x

, N

y

)

- вектор нормали к

прямой l.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.