2014 КМ1 УСР3(пед)

КОМПЬЮТЕРНАЯ МАТЕМАТИКА

УПРАВЛЯЕМАЯ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТА, ЧАСТЬ 3

3.3.5Взаимная ориентация вектора нормали и направляющего вектора прямой 7

1

1. Базовые и элементарные геометрические объекты

Постановка задачи. В заданной компьютерной среде моделирования для каждого изучаемого геометрического объекта:

1)описать способы задания;

2)указать каноническое представление;

3)построить модель для отображения;

4)описать свойства и основные соотношения (создать функции).

Так как среда моделирования – числовой математический пакет MathCAD, то будем строить модели и разрабатывать алгоритмы, используя структуры данных вектор, матрица, тензор.

В аксиоматике геометрии понятия точки, прямой и плоскости остались неопределёнными. Точка, прямая, плоскость – это фундаментальные понятия в аналитической геометрии.

Д. Гильберт, "Основания геометрии":

"Мы мыслим три различные системы вещей: вещи первой системы мы называем точками и обозначаем A, B, C; вещи второй системы мы называем прямыми и обозначаем a, b, c; вещи третьей системы мы называем плоскостями и обозначаем α, β ,γ ; точки называются также элементами линейной геометрии, точки и прямые — элементами плоской геометрии, точки, прямые и плоскости — элементами пространственной геометрии или элементами пространства.

Мы мыслим точки, прямые и плоскости в определённых соотношениях и обозначаем эти соотношения различными словами, как- то: «лежать», «между», «конгруэнтный», «параллельный», «непрерывный». Точное и для математических целей полное описание этих соотношений достигается аксиомами геометрии."

Таким образом, базовыми геометрическими объектами плоскости

будем называть объекты точка и прямая. Объекты плоскости вектор, отрезок, луч, полигон, окружность будем называть элементарными геометрическими объектами плоскости.

2. Точка

2.1Способы задания

В прямоугольной декартовой системе координат на плоскости точка p задается парой координат (px, py). В полярной системе координат – парой координат (pφ, pr).

Можно установить связь между полярной системой координат и декартовой прямоугольной системой, если полюс разместить в начале декартовой прямоугольной системы координат, а полярную ось направить вдоль положительного направления оси Ох.

2

Какими соотношениями связаны координаты произвольной точки плоскости в прямоугольной декартовой системе координат и полярной системе координат? Дайте обоснование Вашего ответа.

2.2Представление и визуализация в MathCAD

Какую структуру данных следует использовать для представления объектов в среде MathCAD? Так как основной структурой данных в MathCAD является массив с индексированными переменными, то предпочтительно размещать информацию об объектах в векторах, матрицах, тензорах.

Система предоставляет много возможностей (встроенных функций, команд пунктов меню, операторов на панелях инструментов) для работы с векторами, матрицами и их частями: подматрицами, строками, столбцами, отдельными элементами. Кроме того, в MathCAD для работы с массивами не нужно объявлять их размерность, нет необходимости указывать значение каждого элемента: достаточно присвоить значения лишь необходимым элементам, и система вернет массив минимальной размерности, содержащий указанные элементы. При этом элементам, которые не были определены, MathCAD присвоит нулевые значения.

Поэтому именно на языке матриц и векторов мы будем представлять объекты, описывать их свойства и взаимосвязи.

Чтобы представить объект точка в системе MathCAD, используем структуру данных вектор, состоящий из двух элементов.

Структура данных вектор вида

где px и py – соответственно координаты x и y точки p в прямоугольной декартовой системе координат будет представлять точку на плоскости.

Если точка задана в полярной системе координат, то для ее канонического представления (1) нужна функция-конвертер.

Упражнение 1. Построить функцию PointPol2Dek(PhiRho), которая по заданным координатам точки p в полярной системе координат определяет

ее положение в декартовой системе координат. Входной аргумент PhiRho

– вектор вида [φ, ρ]Т, где φ – полярный угол, ρ – полярный радиус точки p. Функция возвращает вектор вида [px, py]Т, где px и py – соответственно координаты x и y точки p в прямоугольной декартовой системе координат.

Системы координат соотносятся следующим образом: полюс совпадает с началом координат в декартовой системе, а полярная ось – с положительным направлением оси ОХ. С учетом указанной спецификации

функции PointPol2Dek, а также соотношений между декартовой и полярной системой координат, функция PointPol2Dek будет иметь вид

3

æcos(PhiRho0 )ö

PointPol2Dek (PhiRho):= PhiRho1 çè sin(PhiRho0 ) ÷ø .

3. Вектор

3.1Способы задания

Вектор – множество, класс эквивалентных направленных отрезков. Направленный отрезок АВ – множество точек на прямой, расположенных между двумя точками А и В этой прямой, включая сами точки А и В. Точку А называют началом, В – концом направленного отрезка АВ.

Вектор V ≠ 0 на плоскости задается координатами (Vx, Vy) в декартовой системе координат.

Вектор единичной длины, сонаправленный с вектором V, будем называть ортом вектора V и обозначать Ve.

Зачастую при решении задач координаты точки p удобно рассматривать как координаты радиус-вектора точки p – вектора,

начало которого совпадает с точкой (0, 0), а конец находится в точке p.

3.2Представление и визуализация в MathCAD

Каноническое представление вектора V ≠ 0 в MathCAD –

структура данных вектор вида

æVx ö

ç ÷ , (2)

èVy ø

где Vx и Vy – соответственно абсцисса и ордината вектора V в прямоугольной декартовой системе координат.

Упражнение 2. Построить функцию VectorOrt(V), возвращающую орт заданного вектора V. Входные параметры: вектор V в его каноническом представлении (2).

Тогда функция, возвращающая орт заданного вектора V, имеет вид

V VectorOrt(V) := .

V TV

4

где a - столбец с элементами ax, ay и b - столбец с элементами bx, by.

3.3.3 Биссектриса угла между векторами

На плоскости заданы векторы a и b, a ¹,b ¹ 0,a ¹ b . Найти вектор, сонаправленный с биссектрисой меньшего угла, который образуют векторы a и b , выходящие из одной точки.

где We - орт вектора W.

6

3.3.5Взаимная ориентация вектора нормали и направляющего вектора прямой

Пусть на плоскости задана прямая l. Нормальный вектор N прямой по отношению к направляющему вектору V может быть направлен двояко: перпендикулярно влево или перпендикулярно вправо.

Какова связь между координатами V и N в каждом случае? Упражнение 4. Изобразите на плоскости векторы V, NLeft, NRight и

рассмотрите, как связаны координаты векторов V и NLeft, V и NLeft. Запишите полученные соотношения, обоснуйте их.

Для единообразия изложения материала примем правую ориентацию нормали N к прямой l. Это означает, что вектор нормали N направлен перпендикулярно вправо от направляющего вектора прямой V.

При таком соглашении связь вектора нормали N и направляющего вектора прямой V будет следующей:

4.1Способы задания

13)уравнением прямой в полярной системе координат.

4.2Представление и визуализация в MathCAD

Объект прямая l представим, используя структуру данных тензор.

Каноническим представлением прямой l в MathCAD будем называть

тензор вида

Таким образом, объект прямая мы представили в виде вектора L, оба элемента которого являются векторами.

Чтобы увидеть координатные функции, используем оператор вывода

æ 5t + 2ö

значения символьного выражения, а именно L0 + t × L1 ® ç ÷ .

è7t + 3 ø

Используем функцию tFix для вычисления значений параметров, соответствующих точкам прямой с указанными абсциссами xLeft и xRight.

4.3Представление уравнений прямой в среде MathCAD

4.3.1 Общее уравнение прямой

общего уравнения прямой F = (A, B, D). Требуется представить в среде MathCAD левую часть уравнения (9) в матричном виде.

Рассмотрим наряду с координатами точки p = (x, y) ее проективные координаты pp = (x, y, 1).

Тогда выражение Ax + By + D может быть получено скалярным

произведением вектора параметров общего уравнения прямой F и проективного вектора pp координат произвольной точки этой прямой. Или, используя операцию умножения вектор-строки на вектор-столбец,

Утверждение 4. Выражение (10) представляет модель общего уравнения прямой, если она задана вектором параметров общего