Высшая математика

Ответственный за выпуск

Л. В. Плетнёв

Технический редактор

Н. В. Русецкая

Компьютерная верстка

Н. П. Полевничая

Подписано в печать

. Формат 60х84/16. Бумага офсетная. Гарнитура Таймс.

Печать трафаретная. Усл.-печ. л.

. Уч.-изд. л.

.Тираж 99 экз. Заказ №

1 Линейное преобразование. Матрица линейного ............................

преобразования. Собственные числа и собственные векторы ....................

линейного преобразования.............................................................................

4

1.1

Линейные преобразования (операторы) .......................................

4

1.2

Матрица линейного преобразования............................................

5

1.3

Матрица перехода от одного базиса к другому базису.

Связь между координатами вектора в различных базисах.........................

7

Собственные числа и собственные векторы линейного

оператора (матрицы) .......................................................................................

9

1.5

Упражнения...................................................................................

11

1.6

Контрольные задания ...................................................................

12

2 Квадратичные формы.....................................................................

13

2.1

Преобразование матрицы линейного оператора .......................

13

2.2

Квадратичная форма и её матрица..............................................

15

2.3

Канонический вид квадратичной формы ...................................

16

2.4

Положительно и отрицательно определённые квадратичные

формы ...........................................................................................................

19

2.5

Упражнения...................................................................................

20

2.6

Контрольные задания ...................................................................

21

3 Применение квадратичных форм к исследованию кривых............

и поверхностей второго порядка.................................................................

21

3.1

Канонические уравнения кривых 2-го порядка.........................

21

3.2

Приведение общего уравнения кривых 2-го порядка

к каноническому виду...................................................................................

22

3.3

Канонические уравнения поверхностей 2-го порядка..............

25

3.4

Приведение общего уравнения поверхностей 2-го порядка

к каноническому виду...................................................................................

28

3.5

Упражнения...................................................................................

30

3.6

Контрольные задания ...................................................................

30

Cписок литературы.............................................................................

31

ном пространстве E называется отображение E

в себя, т. е. A : E → E

k

,

k

k

k

при котором каждому элементу (вектору)

x Ek

ставится в соответствие

элемент (вектор) y Ek :

y = A x .

(1)

A* (x + y) = A* x + A* y , x, y E ;

(2)

k

A* (α x ) = α (A* x ), α R, x Ek .

(3)

1.2 Матрица линейного преобразования

Пусть

e1 ,e2 ,e3 ,…,ek

(4)

ства Ek соответствует определённая матрица A типа k × k

такая, что её

столбцы состоят из координат векторов

A e1 , A e2 , A e3 ,…, A ek ,

(5)

Y = A X .

(6)

Итак, имеем

a11

a12

… a1k

A*e1 = a11e1 + a21e2 +…+ ak1ek ;

a

a

a

A*e = a e + a e +…+ a e ;

A =

21

22

… 2k

;

2

12 1

22 2

k 2 k

(7)

…

… … …

…………………………………

ak 2

A*e

= a e

+ a e

+…+ a e .

ak1

… akk

k

1k 1

2k 2

kk k

7

A

*

π

π

j =

y

j = cos

2

+ ϕ

i + sin

2

+ ϕ

y′

= − sinϕ i + cosϕ j.

A* j

j A*i x′

Отсюда получаем матрицу A :

O

i

cosϕ

− sinϕ

x

A =

.

Рисунок 2

sinϕ

cosϕ

Пусть

e1,e2 ,e3 ,…,ek

(8)

и

v1 ,v2 ,v3 ,…,vk

(9)

– два базиса линейного пространства Ek . Каждый вектор vi

(i =

) базиса

1,k

(9) однозначно разлагается по базису (8):

vi = t1i e1 + t2i e2

+ …+ tki ek , i =

.

(10)

1,k

Составим матрицу T , располагая по столбцам координаты соответ-

ствующих векторов vi (i =

) в базисе (10):

1,k

t11

t12

… t1k

t21

t22

… t2k

(11)

T =

.

… … … …

tk1

tk 2

… tkk

[v1 ,v2 ,v3 ,…,vk ] = [e1 ,e2 ,e3 ,…,ek ] T ;

[e1 ,e2 ,e3 ,…,ek ] = [v1 ,v2 ,v3 ,…,vk ] T−1 .

Если X – столбец координат вектора a в базисе (8), а X′

– столбец

координат вектора a в базисе (9), то

X = T X′ , X′ = T−1 X .

(12)

B = T−1 A T ,

(13)

где T – матрица (11) перехода от базиса (8) к базису (9).

1.3.2 Пример. Пусть

−2

0

1

1

1

A =

1

3

5

0

есть матрица линейного оператора A*

в некотором базисе {e1 ,e2 ,e3} трёх-

мерного пространства E3 . Найти матрицу B этого преобразования в базисе

{e1′,e2′ ,e3′} , где

′

′

′

e1 = e1

+ e2 , e2 = e1 + e2 + e3 , e3 = e2 .

Решение

Находим матрицу T перехода от базиса {e1 ,e2 ,e3}

к базису {e1′,e2′ ,e3′} :

′

= 1 e1 + 1 e2

+ 0

e3;

1 1 0

e1

′

= 1 e1 + 1 e2

+ 1

e3;

e2

T = 1 1 1

.

e′

= 0 e + 1

e

+ 0 e ;

0 1 0

3

1

2

3

Вычисляем обратную матрицу T−1 :

1

0

−1

T

−1

0

0

1

=

.

−1

1

0

1

0

−2 0

1

1

1

0

−10

−9 −5

−1

B = T

−1

A T =

0

0

1

1

1

1

=

8

8

5

1

1

1

.

−1 1

0

3

5

0

0

1

0

7

7

4

A* x = λ x ,

(14)

му соотношение (14) можно записать в матричной форме

A X = λ X , (A − λE)X = 0 ,

(15)

(a11 − λ ) x1 + a12 x2 + …+ a1k xk = 0;

a21x1 + (a22 − λ ) x2 + …+ a2k xk = 0;

(16)

……………………………………

ak1x1 + ak 2 x2 + …+ (akk − λ ) xk = 0,

a11 − λ

a12

…

a1k

a21

a22 − λ

…

a2k

= 0 .

(17)

…

…

…

…

ak1

ak 2

… akk − λ

2

2

−1

−1

−3

0

A =

.

2

4

−1

Решение

Составляем уравнение вида (17):

2 − λ

2

−1

= 0 , т. е. λ 3 + 2λ 2 − λ − 2 = 0 .

−1

−3 − λ

0

2

4

−1 − λ

Тогда λ 2

(

λ + 2

)

−

(

λ + 2

)

= 0

,

(

λ +

2

)(

λ 2

−

)

(

λ + 2

)(

λ +

)(

)

= 0,

1 = 0 ,

1

λ − 1

откуда λ1 = −2,

λ2

= −1, λ3 = 1. Итак, найдены собственные значения мат-

рицы A . Находим соответствующие собственные векторы,

4x1 + 2x2 − x3 = 0;

4x1 + 2x2 = x3;

λ1 = −2: − x1 − x2 = 0;

x3 = 2x1 ;

2x + 4x + x = 0.

x2 = − x1.

1

2

3

x2

= − x1

x(1) = ( x1;− x1;2x1 )T ,

x1 ≠ 0 ,

т. е. в частности можно взять

x(1)

=

(

−1;2

)

1;

T .

3x1 + 2x2 − x3 = 0;

3x1 + 2x2 = x3;

1

x1

x3 ;

λ2 = −1: − x1

− 2x2 = 0;

=

2x

+

4x = 0.

x1

+ 2x2 = 0.

2

1

2

x = −

1

x x(2) =

1

x ; −

1

x

; x

T , x ≠ 0 .

2

4

3

3

4

3

3

3

2

В частности получаем x

(2)

1

1

T

=

; −

;1 .

2

4

x1 + 2x2 − x3 = 0;

x1 + 2x2 = x3;

λ3 = 1:

= 0;

x1 = 2x3 ;

− x1 − 4x2

2x

+ 4x

− 2x

= 0.

x1 + 4x2 = 0.

1

2

3